Question

对方程组 $z^x=y^{2x}$ 、 $2^z=2\cdot4^x$ 、 $x+y+z=16$ ，按 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 的顺序，其整数解为：

In the set of equations $z^x=y^{2x},$ $2^z=2\cdot4^x,$ $x+y+z=16,$ the integral roots in the order $x,$ $y,$ $z$ are:

$3$ ， $4$ ， $9$

$3,$ $4,$ $9$

$9$ ， $-5$ ， $12$

$9,$ $-5,$ $12$

$12$ ， $-5$ ， $9$

$12,$ $-5,$ $9$

$4$ ， $3$ ， $9$

$4,$ $3,$ $9$

$4$ ， $9$ ， $3$

$4,$ $9,$ $3$

答案：D

知识点：指数丢番图方程方程组

难度评级：1810

小提示：

比较 $2^z=2\cdot4^x$ 中的指数，得到 $z$ 关于 $x$ 的表达式

Compare exponents in $2^z=2\cdot4^x$ to express $z$ in terms of $x$

大提示：

对题目预期的正数解， $z^x=y^{2x}$ 给出 $z=y^2$ ；将两个关系都代入和式

For the intended positive solution, $z^x=y^{2x}$ gives $z=y^2$ ; substitute both relations into the sum

解答：

对于题目预期的正整数解，第一个方程给出 $z=y^2$ 。第二个方程为 $2^z=2^{2x+1}\text{，}$ 所以 $z=2x+1$ ，且 $x=\frac{y^2-1}{2}$ 。代入 $x+y+z=16$ ，得到 $\frac{y^2-1}{2}+y+y^2=16\text{。}$ 正整数解为 $y=3$ ，从而 $x=4$ 、 $z=9$ 。直接代入即可验证三个方程均成立。

因此，题目各选项中预期的答案是 D。

For the intended positive integral solution, the first equation gives $z=y^2.$ The second equation is $2^z=2^{2x+1},$ so $z=2x+1$ and $x=\frac{y^2-1}{2}.$ Substituting into $x+y+z=16$ gives $\frac{y^2-1}{2}+y+y^2=16.$ The positive integral solution is $y=3,$ which gives $x=4$ and $z=9.$ Direct substitution verifies all three displayed equations.

Thus, the intended listed answer is D.

1952 AMC 12 第 47 题

答案：D

难度评级：1810

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 47 题