Question

一个内接于三角形的矩形，其底边与三角形长为 $b$ 的底边重合。若三角形的高为 $h$ ，矩形的高 $x$ 是矩形底边的一半，则：

A rectangle inscribed in a triangle has its base coinciding with the base $b$ of the triangle. If the altitude of the triangle is $h,$ and the altitude $x$ of the rectangle is half the base of the rectangle, then:

$x=\dfrac12h$

$x=\dfrac{bh}{b+h}$

$x=\dfrac{bh}{2h+b}$

$x=\sqrt{\dfrac{hb}{2}}$

$x=\dfrac12b$

答案：C

知识点：相似矩形高线

难度评级：1800

小提示：

三角形内距底边高度为 $x$ 的横截线长度为 $b(1-\frac{x}{h})$

The segment across the triangle at height $x$ has length $b(1-\frac{x}{h})$

大提示：

矩形的底边长为 $2x$

The rectangle’s base is $2x$

解答：

由相似三角形可知，在距底边高度 $x$ 处，三角形的宽度为 $b(1-\tfrac{x}{h})$ ，这就是内接矩形的底边。由于矩形的高是底边的一半，其底边长为 $2x$ 。因此， $2x=b\left(1-\frac{x}{h}\right)\text{。}$ 两边乘以 $h$ 并求解，得到 $x(2h+b)=bh$ ，所以 $x=\dfrac{bh}{2h+b}$ 。

因此，正确答案是 C。

By similarity, the width of the triangle at height $x$ above its base is $b(1-\tfrac{x}{h}).$ This is the base of the inscribed rectangle. Since the rectangle’s altitude is half its base, its base is $2x.$ Hence $2x=b\left(1-\frac{x}{h}\right).$ Multiplying by $h$ and solving gives $x(2h+b)=bh,$ so $x=\dfrac{bh}{2h+b}.$

Thus, the correct answer is C.

1950 AMC 12 第 47 题

答案：C

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 47 题