Question

$ABCD$ 是一个矩形，如附图所示， $P$ 是 $\overline{AB}$ 上任意一点。 $PS\perp BD$ 且 $PR\perp AC$ 。 $AF\perp BD$ 且 $PQ\perp AF$ 。则 $PR+PS$ 等于：

$ABCD$ is a rectangle (see the accompanying diagram) with $P$ any point on $\overline{AB}.$ $PS\perp BD$ and $PR\perp AC.$ $AF\perp BD$ and $PQ\perp AF.$ Then $PR+PS$ is equal to:

$PQ$

$AE$

$PT+AT$

$AF$

$EF$

答案：D

知识点：矩形平行线相似

难度评级：2070

小提示：

由 $PQ\parallel BD$ 和 $PS\parallel AF$ ，找出 $F$ 与 $S$ 附近的小平行四边形

Because $PQ\parallel BD$ and $PS\parallel AF,$ identify the small parallelogram near $F$ and $S$

大提示：

利用交点 $T=PQ\cap AC$ 比较直角三角形 $PTR$ 和 $ATQ$

Use the intersection $T=PQ\cap AC$ to compare the right triangles $PTR$ and $ATQ$

解答：

由于 $AF\perp BD$ 且 $PQ\perp AF$ ，有 $PQ\parallel BD$ 。又因 $PS\perp BD$ ，所以 $PS\parallel AF$ 。因此四边形 $QPSF$ 是矩形，且 $PS=QF\text{。}$ 令 $T=PQ\cap AC$ 。矩形的两条对角线与边 $AB$ 所成角相等，所以 $\angle PAT=\angle APT$ ，从而 $AT=PT$ 。直角三角形 $ATQ$ 和 $PTR$ 在 $T$ 处有相同的角，故相似。由于它们的斜边 $AT$ 和 $PT$ 相等， $AQ=PR$ 。因此 $PR+PS=AQ+QF=AF\text{。}$

所以正确答案为 D。

Since $AF\perp BD$ and $PQ\perp AF,$ we have $PQ\parallel BD.$ Also $PS\perp BD,$ so $PS\parallel AF.$ Thus quadrilateral $QPSF$ is a rectangle, and $PS=QF.$ Let $T=PQ\cap AC.$ The diagonals of a rectangle make equal angles with side $AB,$ so $\angle PAT=\angle APT,$ giving $AT=PT.$ The right triangles $ATQ$ and $PTR$ are similar because they share the angle at $T.$ Since their hypotenuses $AT$ and $PT$ are equal, $AQ=PR.$ Therefore $PR+PS=AQ+QF=AF.$

Thus, the correct answer is D.

1958 AMC 12 第 47 题

答案：D

难度评级：2070

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 47 题