Question

Si $r$ y $s$ son las raíces de la ecuación $ax^2+bx+c=0,$ el valor de $\dfrac1{r^2}+\dfrac1{s^2}$ es:

If $r$ and $s$ are the roots of the equation $ax^2+bx+c=0,$ the value of $\dfrac1{r^2}+\dfrac1{s^2}$ is:

$b^2-4ac$

$\dfrac{b^2-4ac}{2a}$

$\dfrac{b^2-4ac}{c^2}$

$\dfrac{b^2-2ac}{c^2}$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: D

Conceptos:Fórmulas de Vieta manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Escribe la expresión sobre el denominador común $r^2s^2$

Write the expression over the common denominator $r^2s^2$

Pista grande:

Usa $r+s=-\frac{b}{a}$ y $rs=\frac{c}{a}$

Use $r+s=-\frac{b}{a}$ and $rs=\frac{c}{a}$

Solución:

Por las fórmulas de Vieta, $r+s=-\frac ba,\qquad rs=\frac ca.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} \frac1{r^2}+\frac1{s^2} &=\frac{(r+s)^2-2rs}{(rs)^2}\\ &=\frac{b^2-2ac}{c^2}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By Vieta’s formulas, $r+s=-\frac ba,\qquad rs=\frac ca.$ Therefore $\begin{aligned} \frac1{r^2}+\frac1{s^2} &=\frac{(r+s)^2-2rs}{(rs)^2}\\ &=\frac{b^2-2ac}{c^2}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

1951 AMC 12 Problema 47

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 47 en otros años