La fracción \frac√a^2+x^2-\dfracx^2-a^2√a^2+x^2a^2+x^2 se reduce a:

(D) \dfrac2a^2(a^2+x^2)^(3)/(2)

(C) \dfrac2x^2(a^2+x^2)^(3)/(2)

La ecuación √x+10-\dfrac6√x+10=5 tiene:

(B) una raíz extraña entre -10 y -6

(A) una raíz extraña entre -5 y -1

(C) una raíz verdadera entre 20 y 25

1953 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

Un muchacho compra naranjas a razón de $3$ por $10$ centavos y las vende a razón de $5$ por $20$ centavos. Para obtener una ganancia de $\$1.00,$ debe vender:

A boy buys oranges at $3$ for $10$ cents. He will sell them at $5$ for $20$ cents. In order to make a profit of $\$1.00,$ he must sell:

$67$ naranjas

$67$ oranges

$150$ naranjas

$150$ oranges

$200$ naranjas

$200$ oranges

una cantidad infinita de naranjas

an infinite number of oranges

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:unit rate profit arithmetic

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Calcula el costo de compra y el precio de venta de cada naranja

Find the buying cost and selling price per orange

Pista grande:

La ganancia por naranja es la diferencia entre los dos precios unitarios

The profit per orange is the difference of the two unit rates

Solución:

Cada naranja cuesta $\frac{10}{3}$ centavos y se vende por $4$ centavos, de modo que la ganancia por naranja es de $4-\frac{10}{3}=\frac{2}{3}$ de centavo. Para ganar $100$ centavos, debe vender $\frac{100}{\frac{2}{3}}=150$ naranjas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each orange costs $\frac{10}{3}$ cents and sells for $4$ cents, so the profit is $4-\frac{10}{3}=\frac{2}{3}$ cent per orange. To earn $100$ cents, he must sell $\frac{100}{\frac{2}{3}}=150$ oranges.

Thus, the correct answer is B.

2.

Se ofrece un refrigerador cuyo precio es de $\$250.00$ antes de aplicar descuentos sucesivos de $20\%$ y $15\%.$ El precio de venta del refrigerador es:

A refrigerator is offered for sale at $\$250.00$ less successive discounts of $20\%$ and $15\%.$ The sale price of the refrigerator is:

$35\%$ menos que $\$250.00$

$35\%$ less than $\$250.00$

el $65\%$ de $\$250.00$

$65\%$ of $\$250.00$

el $77\%$ de $\$250.00$

$77\%$ of $\$250.00$

el $68\%$ de $\$250.00$

$68\%$ of $\$250.00$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:successive discounts porcentaje multiplication

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Aplica cada descuento al precio que queda después del descuento anterior

Apply each discount to the price remaining after the preceding discount

Pista grande:

Multiplica el precio original por $(1-0.20)(1-0.15)$

Multiply the original price by $(1-0.20)(1-0.15)$

Solución:

Después de los dos descuentos queda $(0.80)(0.85)=0.68$ del precio original. Por lo tanto, el precio de venta es el $68\%$ de $\$250.00,$ es decir, $\$170.00.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The two discounts leave $(0.80)(0.85)=0.68$ of the original price. The sale price is therefore $68\%$ of $\$250.00,$ or $\$170.00.$

Thus, the correct answer is D.

3.

Los factores de la expresión $x^2+y^2$ son:

The factors of the expression $x^2+y^2$ are:

$(x+y)(x-y)$

$(x+y)^2$

$(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}})(x^{\frac{4}{3}}+y^{\frac{4}{3}})$

$(x+iy)(x-iy)$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:complex numbers sum of squares factorización

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

En los números complejos, $i^2=-1$

Over the complex numbers, $i^2=-1$

Pista grande:

Reescribe $y^2$ como $-(iy)^2$ y aplica la diferencia de cuadrados

Rewrite $y^2$ as $-(iy)^2$ and use a difference of squares

Solución:

Como $i^2=-1,$ $\begin{aligned} (x+iy)(x-iy)&=x^2-(iy)^2\\ &=x^2+y^2. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $i^2=-1,$ $\begin{aligned} (x+iy)(x-iy)&=x^2-(iy)^2\\ &=x^2+y^2. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

4.

Las raíces de $x(x^2+8x+16)(4-x)=0$ son:

The roots of $x(x^2+8x+16)(4-x)=0$ are:

$0$

$0,$ $4$

$0,$ $4,$ $-4$

$0,$ $4,$ $-4,$ $-4$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:polynomial roots factorización multiplicity

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Factoriza por completo el trinomio cuadrático

Factor the quadratic completely

Pista grande:

El factor $x^2+8x+16$ es un cuadrado perfecto, por lo que una raíz se repite

The factor $x^2+8x+16$ is a perfect square, so one root is repeated

Solución:

La ecuación se factoriza como $x(x+4)^2(4-x)=0.$ Contando la multiplicidad, sus raíces son $0,$ $4,$ $-4,$ y $-4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The equation factors as $x(x+4)^2(4-x)=0.$ Its roots, counted with multiplicity, are $0,$ $4,$ $-4,$ and $-4.$

Thus, the correct answer is D.

5.

Si $\log_6 x=2.5,$ el valor de $x$ es:

If $\log_6 x=2.5,$ the value of $x$ is:

$90$

$36$

$36\sqrt6$

$0.5$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:logarithms fractional exponents radicals

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Reescribe la ecuación logarítmica en forma exponencial

Rewrite the logarithmic equation in exponential form

Pista grande:

Usa $2.5=2+\tfrac12$

Use $2.5=2+\tfrac12$

Solución:

La ecuación da $x=6^{2.5}=6^2\sqrt6=36\sqrt6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The equation gives $x=6^{2.5}=6^2\sqrt6=36\sqrt6.$

Thus, the correct answer is C.

6.

Charles tiene $5q+1$ monedas de veinticinco centavos y Richard tiene $q+5$ monedas de veinticinco centavos. Expresada en monedas de diez centavos, la diferencia entre sus cantidades de dinero es:

Charles has $5q+1$ quarters and Richard has $q+5$ quarters. The difference in their money in dimes is:

$10(q-1)$

$\dfrac25(4q-4)$

$\dfrac25(q-1)$

$\dfrac52(q-1)$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A

Conceptos:currency conversion algebraic expression

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Primero resta las dos cantidades de monedas de veinticinco centavos

First subtract the two numbers of quarters

Pista grande:

Una moneda de veinticinco centavos equivale a $\frac{5}{2}$ monedas de diez centavos

One quarter is $\frac{5}{2}$ dimes

Solución:

La diferencia es de $(5q+1)-(q+5)=4q-4$ monedas de veinticinco centavos. Al multiplicar por $\frac{5}{2}$ monedas de diez centavos por cada moneda de veinticinco centavos, se obtiene $\frac52(4q-4)=10(q-1).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The difference is $(5q+1)-(q+5)=4q-4$ quarters. Multiplying by $\frac{5}{2}$ dimes per quarter gives $\frac52(4q-4)=10(q-1).$

Thus, the correct answer is A.

7.

La fracción $\frac{\sqrt{a^2+x^2}-\dfrac{x^2-a^2}{\sqrt{a^2+x^2}}}{a^2+x^2}$ se reduce a:

The fraction $\frac{\sqrt{a^2+x^2}-\dfrac{x^2-a^2}{\sqrt{a^2+x^2}}}{a^2+x^2}$ reduces to:

$0$

$\dfrac{2a^2}{a^2+x^2}$

$\dfrac{2x^2}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}$

$\dfrac{2a^2}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}$

$\dfrac{2x^2}{a^2+x^2}$

Respuesta: D

Conceptos:radicals complex fractions algebraic simplification

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Combina los dos términos del numerador usando un denominador común

Combine the two terms in the numerator over a common denominator

Pista grande:

El nuevo numerador se simplifica a $(a^2+x^2)-(x^2-a^2)$

The new numerator simplifies to $(a^2+x^2)-(x^2-a^2)$

Solución:

El numerador es $\begin{aligned} &\frac{a^2+x^2-(x^2-a^2)} {\sqrt{a^2+x^2}}\\ &\qquad{}=\frac{2a^2}{\sqrt{a^2+x^2}}. \end{aligned}$ Al dividir entre $a^2+x^2$ , se obtiene $\frac{2a^2}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The numerator is $\begin{aligned} &\frac{a^2+x^2-(x^2-a^2)} {\sqrt{a^2+x^2}}\\ &\qquad{}=\frac{2a^2}{\sqrt{a^2+x^2}}. \end{aligned}$ Dividing by $a^2+x^2$ gives $\frac{2a^2}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}.$

Thus, the correct answer is D.

8.

El valor de $x$ en la intersección de $y=\dfrac8{x^2+4}$ y $x+y=2$ es:

The value of $x$ at the intersection of $y=\dfrac8{x^2+4}$ and $x+y=2$ is:

$-2+\sqrt5$

$-2-\sqrt5$

$0$

$2$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:sistema de ecuaciones ecuación racional factorización

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Sustituye $y=2-x$ en la ecuación racional

Substitute $y=2-x$ into the rational equation

Pista grande:

Después de eliminar el denominador, extrae el factor $x$

After clearing the denominator, factor out $x$

Solución:

La sustitución da $(2-x)(x^2+4)=8.$ Al desarrollar y simplificar, $x(x^2-2x+4)=0.$ El factor cuadrático tiene discriminante negativo, así que la intersección real tiene $x=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Substitution gives $(2-x)(x^2+4)=8.$ Expanding and simplifying, $x(x^2-2x+4)=0.$ The quadratic factor has negative discriminant, so the real intersection has $x=0.$

Thus, the correct answer is C.

9.

La cantidad de onzas de agua necesarias para diluir $9$ onzas de loción para afeitar con $50\%$ de alcohol hasta obtener una loción con $30\%$ de alcohol es:

The number of ounces of water needed to reduce $9$ ounces of shaving lotion containing $50\%$ alcohol to a lotion containing $30\%$ alcohol is:

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Respuesta: D

Conceptos:mezcla porcentaje equation

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

La cantidad de alcohol permanece constante cuando se agrega agua

The amount of alcohol stays fixed when water is added

Pista grande:

Plantea $\frac{4.5}{9+w}=0.30$

Set $\frac{4.5}{9+w}=0.30$

Solución:

Al principio, la loción contiene $9(0.50)=4.5$ onzas de alcohol. Si se agregan $w$ onzas de agua, entonces $\frac{4.5}{9+w}=0.30.$ Por consiguiente, $9+w=15$ y $w=6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The lotion initially contains $9(0.50)=4.5$ ounces of alcohol. If $w$ ounces of water are added, then $\frac{4.5}{9+w}=0.30.$ Hence $9+w=15$ and $w=6.$

Thus, the correct answer is D.

10.

El número de vueltas que debe dar una rueda de centro fijo y diámetro exterior de $6$ pies para que un punto de su borde recorra una milla es:

The number of revolutions of a wheel, with fixed center and with an outside diameter of $6$ feet, required to cause a point on the rim to go one mile is:

$880$

$\dfrac{440}{\pi}$

$\dfrac{880}{\pi}$

$440\pi$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:circle circumference conversión de unidades revolutions

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

En una vuelta, el punto del borde recorre una circunferencia

In one revolution the rim point travels one circumference

Pista grande:

Divide $5280$ pies entre la circunferencia de $6\pi$ pies

Divide $5280$ feet by the circumference $6\pi$ feet

Solución:

La circunferencia de la rueda mide $6\pi$ pies, por lo que el número de vueltas requerido es $\frac{5280}{6\pi}=\frac{880}{\pi}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The wheel’s circumference is $6\pi$ feet, so the required number of revolutions is $\frac{5280}{6\pi}=\frac{880}{\pi}.$

Thus, the correct answer is C.

11.

Una pista de carreras es el anillo formado por dos círculos concéntricos y tiene $10$ pies de ancho. Las circunferencias de los dos círculos difieren aproximadamente en:

A running track is the ring formed by two concentric circles. It is $10$ feet wide. The circumferences of the two circles differ by about:

$10$ pies

$10$ feet

$30$ pies

$30$ feet

$60$ pies

$60$ feet

$100$ pies

$100$ feet

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:circle circumference approximation

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

El radio exterior mide $10$ pies más que el radio interior

The outer radius is $10$ feet greater than the inner radius

Pista grande:

Resta las circunferencias; el radio interior desconocido se cancela

Subtract the circumferences; the unknown inner radius cancels

Solución:

Si el radio interior es $r,$ la diferencia es de $2\pi(r+10)-2\pi r=20\pi\approx62.8$ pies, que son aproximadamente $60$ pies.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If the inner radius is $r,$ the difference is $2\pi(r+10)-2\pi r=20\pi\approx62.8$ feet, which is about $60$ feet.

Thus, the correct answer is C.

12.

Los diámetros de dos círculos miden $8$ pulgadas y $12$ pulgadas, respectivamente. La razón entre el área del círculo menor y el área del círculo mayor es:

The diameters of two circles are $8$ inches and $12$ inches respectively. The ratio of the area of the smaller to the area of the larger circle is:

$\dfrac23$

$\dfrac49$

$\dfrac94$

$\dfrac12$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:área del círculo semejanza ratio

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Las áreas de los círculos son proporcionales a los cuadrados de sus diámetros

Circle areas scale as the squares of their diameters

Pista grande:

Eleva al cuadrado la razón de diámetros $\frac{8}{12}$

Square the diameter ratio $\frac{8}{12}$

Solución:

La razón de las áreas es el cuadrado de la razón de los diámetros: $\left(\frac8{12}\right)^2=\left(\frac23\right)^2=\frac49.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The area ratio is the square of the diameter ratio: $\left(\frac8{12}\right)^2=\left(\frac23\right)^2=\frac49.$

Thus, the correct answer is B.

13.

Un triángulo y un trapecio tienen la misma área y también la misma altura. Si la base del triángulo mide $18$ pulgadas, la mediana del trapecio mide:

A triangle and a trapezoid are equal in area. They also have the same altitude. If the base of the triangle is $18$ inches, the median of the trapezoid is:

$36$ pulgadas

$36$ inches

$9$ pulgadas

$9$ inches

$18$ pulgadas

$18$ inches

no se puede determinar con estos datos

not obtainable from these data

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:área del triángulo trapezoid area median

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

El área de un trapecio es el producto de su mediana por su altura

The area of a trapezoid is its median times its altitude

Pista grande:

Compara $mh$ con $\tfrac12(18)h$

Compare $mh$ with $\tfrac12(18)h$

Solución:

Si la altura común es $h,$ el área del triángulo es $\frac12(18)h=9h.$ El área de un trapecio es el producto de su mediana por su altura, así que su mediana debe medir $9$ pulgadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the common altitude is $h,$ the triangle has area $\frac12(18)h=9h.$ A trapezoid’s area is its median times its altitude, so its median must be $9$ inches.

Thus, the correct answer is B.

14.

De dos círculos, el mayor tiene centro $P$ y radio $p$ , y el menor tiene centro $Q$ y radio $q.$ Traza $\overline{PQ}.$ ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

Given the larger of two circles with center $P$ and radius $p$ and the smaller with center $Q$ and radius $q.$ Draw $\overline{PQ}.$ Which of the following statements is false?

$p-q$ puede ser igual a $\overline{PQ}$

$p-q$ can be equal to $\overline{PQ}$

$p+q$ puede ser igual a $\overline{PQ}$

$p+q$ can be equal to $\overline{PQ}$

$p+q$ puede ser menor que $\overline{PQ}$

$p+q$ can be less than $\overline{PQ}$

$p-q$ puede ser menor que $\overline{PQ}$

$p-q$ can be less than $\overline{PQ}$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: E

Conceptos:circles center distance tangency

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Interpreta la distancia entre los centros cuando los círculos son tangentes interiormente, tangentes exteriormente y disjuntos

Interpret the center distance for internal tangency, external tangency, and disjoint circles

Pista grande:

Para cada una de las primeras cuatro afirmaciones, intenta elegir una posición relativa válida de los círculos

For each of the first four statements, try to choose a valid relative position of the circles

Solución:

La tangencia interior produce $PQ=p-q,$ y la tangencia exterior produce $PQ=p+q.$ Los círculos disjuntos pueden cumplir $PQ\gt p+q,$ y muchas configuraciones con círculos secantes o disjuntos cumplen $PQ\gt p-q.$ Por lo tanto, cada una de las situaciones A a D puede ocurrir, así que ninguna es falsa.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Internal tangency realizes $PQ=p-q,$ and external tangency realizes $PQ=p+q.$ Disjoint circles can have $PQ\gt p+q,$ and many intersecting or disjoint configurations have $PQ\gt p-q.$ Thus each of A through D can occur, so none of them is false.

Therefore, the correct answer is E.

15.

De una pieza cuadrada de metal se corta una pieza circular del mayor tamaño posible y luego, de esta, se corta una pieza cuadrada del mayor tamaño posible. La cantidad total de metal desperdiciado es:

A circular piece of metal of maximum size is cut out of a square piece and then a square piece of maximum size is cut out of the circular piece. The total amount of metal wasted is:

$\dfrac14$ del área del cuadrado original

$\dfrac14$ the area of the original square

$\dfrac12$ del área del cuadrado original

$\dfrac12$ the area of the original square

$\dfrac12$ del área de la pieza circular

$\dfrac12$ the area of the circular piece

$\dfrac14$ del área de la pieza circular

$\dfrac14$ the area of the circular piece

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:inscribed figures square círculo área

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Supón que el cuadrado original tiene lado $s$

Let the original square have side $s$

Pista grande:

La diagonal del cuadrado final es igual al diámetro del círculo, que mide $s$

The final square’s diagonal equals the circle’s diameter, which is $s$

Solución:

Supón que el cuadrado original tiene lado $s.$ El círculo inscrito tiene diámetro $s.$ Ese diámetro es la diagonal del cuadrado más grande que se puede cortar del círculo, por lo que el cuadrado final tiene lado $\frac{s}{\sqrt2}$ y área $\frac{s^2}{2}.$ El material que queda después de ambos cortes es este cuadrado final, así que el desperdicio total es $s^2-\frac{s^2}{2}=\frac{s^2}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the original square have side $s.$ The inscribed circle has diameter $s.$ That diameter is the diagonal of the largest square cut from the circle, so the final square has side $\frac{s}{\sqrt2}$ and area $\frac{s^2}{2}.$ The material left after both cuts is this final square, so the total waste is $s^2-\frac{s^2}{2}=\frac{s^2}{2}.$

Thus, the correct answer is B.

16.

Adams planea obtener una ganancia equivalente al $10\%$ del precio de venta de un artículo, y sus gastos equivalen al $15\%$ de las ventas. La tasa de recargo sobre un artículo que se vende por $\$5.00$ es:

Adams plans a profit of $10\%$ on the selling price of an article and his expenses are $15\%$ of sales. The rate of mark-up on an article that sells for $\$5.00$ is:

$20\%$

$25\%$

$30\%$

$33\dfrac13\%$

$35\%$

Respuesta: D

Conceptos:markup profit expenses porcentaje

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Resta del precio de venta tanto la ganancia como los gastos para recuperar el costo

Subtract both profit and expenses from the selling price to recover the cost

Pista grande:

El costo equivale al $75\%$ del precio de venta

The cost is $75\%$ of the selling price

Solución:

La ganancia y los gastos suman el $10\%+15\%=25\%$ de las ventas, así que el costo equivale al $75\%$ del precio de venta. El recargo como fracción del costo es $\frac{25\%}{75\%}=\frac13=33\frac13\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Profit and expenses are $10\%+15\%=25\%$ of sales, so the cost is $75\%$ of the selling price. The markup as a fraction of cost is $\frac{25\%}{75\%}=\frac13=33\frac13\%.$

Thus, the correct answer is D.

17.

Un hombre invierte parte de $\$4500$ al $4\%$ y el resto al $6\%.$ Si su rendimiento anual es el mismo en cada inversión, la tasa promedio de interés que obtiene sobre los $\$4500$ es:

A man has part of $\$4500$ invested at $4\%$ and the rest at $6\%.$ If his annual return on each investment is the same, the average rate of interest which he realizes on the $\$4500$ is:

$5\%$

$4.8\%$

$5.2\%$

$4.6\%$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:simple interest weighted average equation

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Sea $x$ la cantidad invertida al $4\%$ e iguala los dos rendimientos

Let $x$ be the amount invested at $4\%$ and equate the two returns

Pista grande:

Resuelve $0.04x=0.06(4500-x)$ y luego calcula el rendimiento total

Solve $0.04x=0.06(4500-x)$ , then find the total return

Solución:

Sea $x$ la cantidad de dólares invertida al $4\%.$ La igualdad de los rendimientos da $0.04x=0.06(4500-x),$ por lo que $x=2700.$ Cada inversión rinde $\$108,$ para un total de $\$216.$ La tasa promedio es $\frac{216}{4500}=0.048=4.8\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $x$ dollars be invested at $4\%.$ Equal returns give $0.04x=0.06(4500-x),$ so $x=2700.$ Each investment returns $\$108,$ for a total of $\$216.$ The average rate is $\frac{216}{4500}=0.048=4.8\%.$

Thus, the correct answer is B.

18.

Uno de los factores de $x^4+4$ es:

One of the factors of $x^4+4$ is:

$x^2+2$

$x+1$

$x^2-2x+2$

$x^2-4$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:Sophie Germain identity factorización diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Suma y resta $4x^2$ para crear una diferencia de cuadrados

Add and subtract $4x^2$ to create a difference of squares

Pista grande:

Escribe $x^4+4=(x^2+2)^2-(2x)^2$

Write $x^4+4=(x^2+2)^2-(2x)^2$

Solución:

Usando una diferencia de cuadrados, $\begin{gathered} x^4+4=(x^2+2)^2-(2x)^2\\ =(x^2-2x+2)(x^2+2x+2). \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Using a difference of squares, $\begin{gathered} x^4+4=(x^2+2)^2-(2x)^2\\ =(x^2-2x+2)(x^2+2x+2). \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

19.

En la expresión $xy^2,$ los valores de $x$ y $y$ disminuyen cada uno un $25\%;$ el valor de la expresión:

In the expression $xy^2,$ the values of $x$ and $y$ are each decreased $25\%;$ the value of the expression is:

disminuye un $50\%$

decreased $50\%$

disminuye un $75\%$

decreased $75\%$

disminuye en $\frac{37}{64}$ de su valor

decreased $\frac{37}{64}$ of its value

disminuye en $\frac{27}{64}$ de su valor

decreased $\frac{27}{64}$ of its value

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:percentage change exponents multiplicative factor

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Cada variable, después de la disminución, equivale a $\frac{3}{4}$ de su valor original

Each decreased variable is $\frac{3}{4}$ of its original value

Pista grande:

Al calcular el nuevo factor multiplicativo, ten en cuenta que $y$ está elevado al cuadrado

Account for the two powers of $y$ when finding the new multiplicative factor

Solución:

El nuevo valor es $\left(\frac34x\right)\left(\frac34y\right)^2 =\frac{27}{64}xy^2.$ Por lo tanto, la disminución es $1-\frac{27}{64}=\frac{37}{64}$ del valor original.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The new value is $\left(\frac34x\right)\left(\frac34y\right)^2 =\frac{27}{64}xy^2.$ Therefore the decrease is $1-\frac{27}{64}=\frac{37}{64}$ of the original value.

Thus, the correct answer is C.

20.

Si $y=x+\dfrac1x,$ entonces $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$ se convierte en:

If $y=x+\dfrac1x,$ then $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$ becomes:

$x^2(y^2+y-2)=0$

$x^2(y^2+y-3)=0$

$x^2(y^2+y-4)=0$

$x^2(y^2+y-6)=0$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:sustitución reciprocal polynomial algebraic identity

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Extrae el factor $x^2$ y agrupa los términos recíprocos

Factor out $x^2$ and group reciprocal terms

Pista grande:

Usa $x^2+x^{-2}=(x+x^{-1})^2-2$

Use $x^2+x^{-2}=(x+x^{-1})^2-2$

Solución:

Como $x\ne0,$ la expresión se puede factorizar como $\begin{aligned} x^2\Bigg[& \left(x^2+\frac1{x^2}\right)\\ &+\left(x+\frac1x\right)-4 \Bigg]. \end{aligned}$ Puesto que $x^2+x^{-2}=y^2-2,$ esto se convierte en $x^2(y^2+y-6)=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $x\ne0,$ factor the expression as $\begin{aligned} x^2\Bigg[& \left(x^2+\frac1{x^2}\right)\\ &+\left(x+\frac1x\right)-4 \Bigg]. \end{aligned}$ Since $x^2+x^{-2}=y^2-2,$ this becomes $x^2(y^2+y-6)=0.$

Thus, the correct answer is D.

21.

Si $\log_{10}(x^2-3x+6)=1,$ el valor de $x$ es:

If $\log_{10}(x^2-3x+6)=1,$ the value of $x$ is:

$10$ o $2$

$10$ or $2$

$4$ o $-2$

$4$ or $-2$

$3$ o $-1$

$3$ or $-1$

$4$ o $-1$

$4$ or $-1$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:logarithms quadratic equation factorización

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Convierte la ecuación logarítmica en $x^2-3x+6=10$

Convert the logarithmic equation to $x^2-3x+6=10$

Pista grande:

Factoriza la expresión cuadrática resultante

Factor the resulting quadratic

Solución:

La ecuación logarítmica equivale a $x^2-3x+6=10,$ por lo que $\begin{aligned} x^2-3x-4&=(x-4)(x+1)\\ &=0. \end{aligned}$ Por lo tanto, $x=4$ o $x=-1.$

La respuesta correcta es D.

The logarithmic equation is equivalent to $x^2-3x+6=10,$ so $\begin{aligned} x^2-3x-4&=(x-4)(x+1)\\ &=0. \end{aligned}$ Thus $x=4$ or $x=-1.$

The correct answer is D.

22.

El logaritmo de $27\sqrt[4]{9}\sqrt[3]{9}$ en base $3$ es:

The logarithm of $27\sqrt[4]{9}\sqrt[3]{9}$ to the base $3$ is:

$8\dfrac12$

$4\dfrac16$

$5$

$3$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:logarithms nested radicals fractional exponents

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Reescribe $27$ y las dos apariciones de $9$ como potencias de $3$

Rewrite $27$ and both occurrences of $9$ as powers of $3$

Pista grande:

Suma los exponentes $3,$ $\frac{1}{2},$ y $\frac{2}{3}$

Add the exponents $3,$ $\frac{1}{2},$ and $\frac{2}{3}$

Solución:

La expresión impresa es el producto de dos radicales distintos: $27\sqrt[4]{9}\sqrt[3]{9} =3^{3+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}=3^{\frac{25}{6}}.$ Su logaritmo en base $3$ es $\frac{25}{6}=4\dfrac16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The printed expression is a product of two separate radicals: $27\sqrt[4]{9}\sqrt[3]{9} =3^{3+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}=3^{\frac{25}{6}}.$ Its base- $3$ logarithm is $\frac{25}{6}=4\dfrac16.$

Thus, the correct answer is B.

23.

La ecuación $\sqrt{x+10}-\dfrac6{\sqrt{x+10}}=5$ tiene:

The equation $\sqrt{x+10}-\dfrac6{\sqrt{x+10}}=5$ has:

una raíz extraña entre $-5$ y $-1$

an extraneous root between $-5$ and $-1$

una raíz extraña entre $-10$ y $-6$

an extraneous root between $-10$ and $-6$

una raíz verdadera entre $20$ y $25$

a true root between $20$ and $25$

dos raíces verdaderas

two true roots

dos raíces extrañas

two extraneous roots

Respuesta: B

Conceptos:radical equation extraneous root domain

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Multiplica por $\sqrt{x+10}$ antes de eliminar el radical

Multiply by $\sqrt{x+10}$ before eliminating the radical

Pista grande:

Después de resolver la cuadrática resultante, sustituye ambos candidatos en la ecuación original

After solving the resulting quadratic, substitute both candidates into the original equation

Solución:

Al multiplicar por $\sqrt{x+10}$ , se obtiene $x+4=5\sqrt{x+10}.$ Al elevar al cuadrado, resulta $\begin{gathered} x^2-17x-234\\ =(x-26)(x+9)\\ =0. \end{gathered}$ El valor $x=26$ satisface la ecuación original, mientras que $x=-9$ hace que el lado izquierdo sea $1-6=-5,$ y no $5.$ Por lo tanto, $-9,$ que está entre $-10$ y $-6,$ es una raíz extraña.

La respuesta correcta es B.

Multiplying by $\sqrt{x+10}$ gives $x+4=5\sqrt{x+10}.$ Squaring produces $\begin{gathered} x^2-17x-234\\ =(x-26)(x+9)\\ =0. \end{gathered}$ The value $x=26$ satisfies the original equation, while $x=-9$ makes its left side $1-6=-5,$ not $5.$ Thus $-9,$ which lies between $-10$ and $-6,$ is extraneous.

The correct answer is B.

24.

Si $a,$ $b$ y $c$ son enteros positivos menores que $10,$ entonces $(10a+b)(10a+c)$ es igual a $100a(a+1)+bc$ si:

If $a,$ $b$ and $c$ are positive integers less than $10,$ then $(10a+b)(10a+c)$ equals $100a(a+1)+bc$ if:

$b+c=10$

$b=c$

$a+b=10$

$a=b$

$a+b+c=10$

Respuesta: A

Conceptos:algebraic identity valor posicional expansion

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Desarrolla ambos lados y cancela los términos comunes

Expand both sides and cancel their common terms

Pista grande:

Los únicos términos que quedan por igualar son $10a(b+c)$ y $100a$

The only unmatched terms are $10a(b+c)$ and $100a$

Solución:

Al desarrollar y cancelar $100a^2+bc$ en ambos lados, queda $10a(b+c)=100a.$ Como $a$ es positivo, esto equivale a $b+c=10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Expanding and canceling $100a^2+bc$ from both sides leaves $10a(b+c)=100a.$ Since $a$ is positive, this is equivalent to $b+c=10.$

Thus, the correct answer is A.

25.

En una progresión geométrica de términos positivos, cualquier término es igual a la suma de los dos términos que lo siguen. Entonces la razón común es:

In a geometric progression whose terms are positive, any term is equal to the sum of the next two following terms. Then the common ratio is:

$1$

aproximadamente $\dfrac{\sqrt5}{2}$

about $\dfrac{\sqrt5}{2}$

$\dfrac{\sqrt5-1}{2}$

$\dfrac{1-\sqrt5}{2}$

$\dfrac2{\sqrt5}$

Respuesta: C

Conceptos:geometric progression quadratic equation positive root

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Divide entre el primero de ellos la relación entre tres términos consecutivos

Divide the relation among three consecutive terms by the first of them

Pista grande:

La razón común satisface $1=r+r^2$ ; elige su raíz positiva

The common ratio satisfies $1=r+r^2$ ; choose its positive root

Solución:

Si un término es $t,$ los dos siguientes son $tr$ y $tr^2.$ Así, $t=tr+tr^2$ y $r^2+r-1=0.$ Como los términos son positivos, $r=\frac{\sqrt5-1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If a term is $t,$ the next two are $tr$ and $tr^2.$ Thus $t=tr+tr^2$ and $r^2+r-1=0.$ Because the terms are positive, $r=\frac{\sqrt5-1}{2}.$

Thus, the correct answer is C.

26.

La base de un triángulo mide $15$ pulgadas. Se trazan dos segmentos paralelos a la base, con extremos en los otros dos lados, que dividen el triángulo en tres regiones de igual área. La longitud del segmento paralelo más cercano a la base es:

The base of a triangle is $15$ inches. Two lines are drawn parallel to the base, terminating in the other two sides, and dividing the triangle into three equal areas. The length of the parallel closer to the base is:

$5\sqrt6$ pulgadas

$5\sqrt6$ inches

$10$ pulgadas

$10$ inches

$4\sqrt3$ pulgadas

$4\sqrt3$ inches

$7.5$ pulgadas

$7.5$ inches

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

El triángulo situado sobre el segmento paralelo inferior contiene dos tercios del área total

The triangle above the lower parallel contains two-thirds of the total area

Pista grande:

En triángulos semejantes, la razón de las áreas es el cuadrado de la razón de las longitudes correspondientes

For similar triangles, the area ratio is the square of the corresponding-length ratio

Solución:

El segmento paralelo más cercano a la base delimita sobre él un triángulo menor cuya área es $\frac{2}{3}$ del área del triángulo completo. Si su longitud es $x,$ la semejanza da $\frac{x^2}{15^2}=\frac23.$ Por consiguiente, $x^2=150$ y $x=5\sqrt6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The parallel closer to the base bounds a smaller triangle above it whose area is $\frac{2}{3}$ of the whole triangle. If its length is $x,$ similarity gives $\frac{x^2}{15^2}=\frac23.$ Hence $x^2=150$ and $x=5\sqrt6.$

Thus, the correct answer is A.

27.

El radio del primer círculo mide $1$ pulgada; el del segundo, $\dfrac12$ pulgada; el del tercero, $\dfrac14$ de pulgada; y así sucesivamente sin fin. La suma de las áreas de los círculos es:

The radius of the first circle is $1$ inch, that of the second $\dfrac12$ inch, that of the third $\dfrac14$ inch and so on indefinitely. The sum of the areas of the circles is:

$\dfrac{3\pi}{4}$

$1.3\pi$

$2\pi$

$\dfrac{4\pi}{3}$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:área del círculo infinite geometric series

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Al elevar cada radio al cuadrado, cambia la razón común

Squaring each radius changes the common ratio

Pista grande:

Las áreas forman una serie geométrica con primer término $\pi$ y razón $\frac{1}{4}$

The areas form a geometric series with first term $\pi$ and ratio $\frac{1}{4}$

Solución:

Las áreas son $\pi,\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{16},\ldots$ Por lo tanto, su suma es $\frac{\pi}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4\pi}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The areas are $\pi,\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{16},\ldots$ Therefore their sum is $\frac{\pi}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4\pi}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

28.

En el triángulo $ABC,$ los lados $a,$ $b$ y $c$ están opuestos a los ángulos $A,$ $B$ y $C$ , respectivamente. $\overline{AD}$ biseca el ángulo $A$ y corta a $\overline{BC}$ en $D.$ Si $x=CD$ y $y=BD$ , la proporción correcta es:

In triangle $ABC,$ sides $a,$ $b$ and $c$ are opposite angles $A,$ $B$ and $C$ respectively. $\overline{AD}$ bisects angle $A$ and meets $\overline{BC}$ at $D.$ Then if $x=CD$ and $y=BD$ the correct proportion is:

$\dfrac xa=\dfrac a{b+c}$

$\dfrac xb=\dfrac a{a+c}$

$\dfrac yc=\dfrac c{b+c}$

$\dfrac yc=\dfrac a{b+c}$

$\dfrac xy=\dfrac cb$

Respuesta: D

Conceptos:teorema de la bisectriz triangle proportion

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Aplica el teorema de la bisectriz a $\frac{BD}{DC}$

Apply the angle bisector theorem to $\frac{BD}{DC}$

Pista grande:

Usa $x+y=a$ después de escribir $\frac{y}{c}=\frac{x}{b}$

Use $x+y=a$ after writing $\frac{y}{c}=\frac{x}{b}$

Solución:

El teorema de la bisectriz da $\frac{y}{x}=\frac{c}{b},$ o bien $\frac{y}{c}=\frac{x}{b}.$ Como $x+y=a,$ $\frac yc=\frac xb=\frac{x+y}{b+c}=\frac a{b+c}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The angle bisector theorem gives $\frac{y}{x}=\frac{c}{b},$ or $\frac{y}{c}=\frac{x}{b}.$ Since $x+y=a,$ $\frac yc=\frac xb=\frac{x+y}{b+c}=\frac a{b+c}.$

Thus, the correct answer is D.

29.

El número de cifras significativas en la medida del lado de un cuadrado cuya área calculada es de $1.1025$ pulgadas cuadradas, redondeada a la diezmilésima de pulgada cuadrada más cercana, es:

The number of significant digits in the measurement of the side of a square whose computed area is $1.1025$ square inches to the nearest ten-thousandth of a square inch is:

$2$

$3$

$4$

$5$

$1$

Respuesta: D

Conceptos:measurement error significant digits square root

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

El área real está entre $1.10245$ y $1.10255$ pulgadas cuadradas

The true area lies from $1.10245$ up to $1.10255$ square inches

Pista grande:

Extrae las raíces cuadradas de los extremos del intervalo de error y observa cuántas cifras del lado quedan determinadas

Take square roots of the error interval and see how many digits of the side are fixed

Solución:

El área indicada significa que el área real está en $1.10245\le A\lt1.10255.$ Al extraer raíces cuadradas se obtiene, aproximadamente, $1.049976\le\sqrt A\lt1.050024.$ Por lo tanto, toda longitud posible del lado se redondea a $1.0500$ a la diezmilésima más cercana. Los ceros finales después del punto decimal son significativos, así que $1.0500$ tiene cinco cifras significativas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The reported area means the true area lies in $1.10245\le A\lt1.10255.$ Taking square roots gives approximately $1.049976\le\sqrt A\lt1.050024.$ Every possible side length therefore rounds to $1.0500$ to the nearest ten-thousandth. The trailing zeros after the decimal are significant, so $1.0500$ has five significant digits.

Thus, the correct answer is D.

30.

El señor $A$ vende al señor $B$ , con una pérdida del $10\%$ , una casa que vale $\$9000$ . El señor $B$ vuelve a venderle la casa al señor $A$ con una ganancia del $10\%$ . El resultado de las dos transacciones es:

A house worth $\$9000$ is sold by Mr. $A$ to Mr. $B$ at a $10\%$ loss. Mr. $B$ sells the house back to Mr. $A$ at a $10\%$ gain. The result of the two transactions is:

el señor $A$ no gana ni pierde

Mr. $A$ breaks even

el señor $B$ gana $\$900$

Mr. $B$ gains $\$900$

el señor $A$ pierde $\$900$

Mr. $A$ loses $\$900$

el señor $A$ pierde $\$810$

Mr. $A$ loses $\$810$

el señor $B$ gana $\$1710$

Mr. $B$ gains $\$1710$

Respuesta: D

Conceptos:porcentaje profit and loss transactions

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Calcula por separado el precio de cada venta

Find the price of each sale separately

Pista grande:

El segundo $10\%$ se calcula sobre el precio de la primera venta, no sobre $\$9000$

The second $10\%$ is taken from the first sale price, not from $\$9000$

Solución:

El señor $B$ paga primero $9000(0.90)=8100$ dólares. Luego vuelve a vender la casa por $8100(1.10)=8910$ dólares. El señor $A$ recibe $\$8100$ y paga $\$8910,$ por lo que pierde $\$810.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Mr. $B$ first pays $9000(0.90)=8100$ dollars. He then sells the house back for $8100(1.10)=8910$ dollars. Mr. $A$ receives $\$8100$ and pays $\$8910,$ so he loses $\$810.$

Thus, the correct answer is D.

31.

Los rieles de una vía férrea miden $30$ pies. Cuando el tren pasa sobre cada unión de los rieles, se oye un chasquido. La velocidad del tren en millas por hora es aproximadamente igual al número de chasquidos que se oyen en:

The rails on a railroad are $30$ feet long. As the train passes over the point where the rails are joined, there is an audible click. The speed of the train in miles per hour is approximately the number of clicks heard in:

$20$ segundos

$20$ seconds

$2$ minutos

$2$ minutes

$1\dfrac12$ minutos

$1\dfrac12$ minutes

$5$ minutos

$5$ minutes

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A

Conceptos:conversión de unidades tasa approximation

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Convierte una milla por hora a pies por segundo y luego divide entre $30$ pies por chasquido

Convert one mile per hour to feet per second, then divide by $30$ feet per click

Pista grande:

Encuentra el intervalo durante el cual el número de chasquidos es aproximadamente igual al valor numérico de la velocidad en millas por hora

Find the time interval for which the click count is approximately the numerical speed in miles per hour

Solución:

Una velocidad de $v$ millas por hora equivale a $\frac{22v}{15}$ pies por segundo. Como cada chasquido representa $30$ pies, la frecuencia es de $\frac{\frac{22v}{15}}{30}=\frac{11v}{225}$ chasquidos por segundo. En $\frac{225}{11}\approx20.45$ segundos, el número de chasquidos es $v.$ El intervalo más cercano entre las opciones es de $20$ segundos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A speed of $v$ miles per hour is $\frac{22v}{15}$ feet per second. Since each click represents $30$ feet, the click rate is $\frac{\frac{22v}{15}}{30}=\frac{11v}{225}$ clicks per second. In $\frac{225}{11}\approx20.45$ seconds, the number of clicks is $v.$ The closest listed interval is $20$ seconds.

Thus, the correct answer is A.

32.

Se triseca cada ángulo de un rectángulo. Las intersecciones de cada par de trisectrices adyacentes al mismo lado siempre forman:

Each angle of a rectangle is trisected. The intersections of the pairs of trisectors adjacent to the same side always form:

un cuadrado

a square

un rectángulo

a rectangle

un paralelogramo con lados desiguales

a parallelogram with unequal sides

un rombo

a rhombus

un cuadrilátero sin propiedades especiales

a quadrilateral with no special properties

Respuesta: D

Conceptos:rectángulo angle trisectors rombo simetría

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Usa los ejes de simetría horizontal y vertical del rectángulo

Use the horizontal and vertical symmetry axes of the rectangle

Pista grande:

Los cuatro puntos de intersección forman diagonales perpendiculares que se bisecan

The four intersection points have perpendicular diagonals that bisect each other

Solución:

Para cada lado, las dos trisectrices adyacentes a él se encuentran sobre su mediatriz. Los puntos de intersección opuestos son reflejos respecto del centro del rectángulo, de modo que las diagonales del cuadrilátero resultante se bisecan. Una diagonal está sobre el eje de simetría horizontal y la otra sobre el eje vertical, por lo que son perpendiculares.

Un cuadrilátero cuyas diagonales se bisecan es un paralelogramo; si además son perpendiculares, sus cuatro lados son iguales. Por consiguiente, el cuadrilátero es un rombo. No tiene que ser un cuadrado porque las dos diagonales no tienen que medir lo mismo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For each side, the two trisectors adjacent to it meet on that side’s perpendicular bisector. Opposite such intersection points are reflections across the center of the rectangle, so the diagonals of the resulting quadrilateral bisect each other. One diagonal lies on the horizontal symmetry axis and the other on the vertical symmetry axis, so they are perpendicular.

A quadrilateral whose diagonals bisect each other is a parallelogram; if those diagonals are perpendicular, its four sides are equal. Hence the quadrilateral is a rhombus. It need not be a square because the two diagonals need not have equal length.

Thus, the correct answer is D.

33.

El perímetro de un triángulo rectángulo isósceles es $2p.$ Su área es:

The perimeter of an isosceles right triangle is $2p.$ Its area is:

$(2+\sqrt2)p$

$(2-\sqrt2)p$

$(3-2\sqrt2)p^2$

$(1-2\sqrt2)p^2$

$(3+2\sqrt2)p^2$

Respuesta: C

Conceptos:isosceles right triangle perímetro área radicals

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Sea $s$ la longitud de cada cateto; entonces la hipotenusa mide $s\sqrt2$

Let each leg have length $s$ , so the hypotenuse is $s\sqrt2$

Pista grande:

Resuelve $s(2+\sqrt2)=2p$ y luego usa el área $\frac{s^2}{2}$

Solve $s(2+\sqrt2)=2p$ , then use area $\frac{s^2}{2}$

Solución:

Si cada cateto mide $s,$ entonces $s(2+\sqrt2)=2p,$ por lo que $s=p(2-\sqrt2).$ Por lo tanto, el área es $\begin{gathered} \frac{s^2}{2} =\frac{p^2(2-\sqrt2)^2}{2}\\ =(3-2\sqrt2)p^2. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If each leg is $s,$ then $s(2+\sqrt2)=2p,$ so $s=p(2-\sqrt2).$ Therefore the area is $\begin{gathered} \frac{s^2}{2} =\frac{p^2(2-\sqrt2)^2}{2}\\ =(3-2\sqrt2)p^2. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

34.

Si un lado de un triángulo mide $12$ pulgadas y el ángulo opuesto mide $30$ grados, entonces el diámetro del círculo circunscrito es:

If one side of a triangle is $12$ inches and the opposite angle is $30$ degrees, then the diameter of the circumscribed circle is:

$18$ pulgadas

$18$ inches

$30$ pulgadas

$30$ inches

$24$ pulgadas

$24$ inches

$20$ pulgadas

$20$ inches

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:extended law of sines circumcircle triangle

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Relaciona un lado, su ángulo opuesto y el diámetro de la circunferencia circunscrita

Relate a side, its opposite angle, and the circumdiameter

Pista grande:

La ley de senos extendida da $d=\frac{a}{\sin A}$

The extended law of sines gives $d=\frac{a}{\sin A}$

Solución:

Por la ley de senos extendida, el diámetro de la circunferencia circunscrita es $d=\frac{12}{\sin30^\circ}=\frac{12}{\frac{1}{2}}=24$ pulgadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

By the extended law of sines, the circumdiameter is $d=\frac{12}{\sin30^\circ}=\frac{12}{\frac{1}{2}}=24$ inches.

Thus, the correct answer is C.

35.

Si $f(x)=\dfrac{x(x-1)}2,$ entonces $f(x+2)$ es igual a:

If $f(x)=\dfrac{x(x-1)}2,$ then $f(x+2)$ equals:

$f(x)+f(2)$

$(x+2)f(x)$

$x(x+2)f(x)$

$\dfrac{xf(x)}{x+2}$

$\dfrac{(x+2)f(x+1)}x$

Respuesta: E

Conceptos:function notation algebraic identity

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Escribe fórmulas explícitas para $f(x+2)$ y $f(x+1)$

Write explicit formulas for both $f(x+2)$ and $f(x+1)$

Pista grande:

En una de las opciones se cancela el factor $x$ de $f(x+1)=\frac{x(x+1)}{2}$

The factor $x$ in $f(x+1)=\frac{x(x+1)}{2}$ cancels in one choice

Solución:

Directamente, $f(x+2)=\frac{(x+2)(x+1)}2.$ Además, $f(x+1)=\frac{x(x+1)}{2},$ por lo que $\begin{gathered} \frac{(x+2)f(x+1)}x\\ =\frac{(x+2)(x+1)}2. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Directly, $f(x+2)=\frac{(x+2)(x+1)}2.$ Also $f(x+1)=\frac{x(x+1)}{2},$ so $\begin{gathered} \frac{(x+2)f(x+1)}x\\ =\frac{(x+2)(x+1)}2. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is E.

36.

Determina $m$ de modo que $4x^2-6x+m$ sea divisible entre $x-3.$ El valor obtenido, $m,$ es un divisor exacto de:

Determine $m$ so that $4x^2-6x+m$ is divisible by $x-3.$ The obtained value, $m,$ is an exact divisor of:

$12$

$20$

$36$

$48$

$64$

Respuesta: C

Conceptos:factor theorem divisibilidad polinomio

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Usa el teorema del factor en $x=3$

Use the factor theorem at $x=3$

Pista grande:

Después de hallar $m,$ comprueba cuál de los números indicados es divisible entre él

After finding $m,$ test which listed number is divisible by it

Solución:

La divisibilidad entre $x-3$ exige que $4(3)^2-6(3)+m=0,$ así que $18+m=0$ y $m=-18.$ De los números indicados, solo $36$ es un múltiplo exacto de $-18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Divisibility by $x-3$ requires $4(3)^2-6(3)+m=0,$ so $18+m=0$ and $m=-18.$ Of the listed numbers, only $36$ is an exact multiple of $-18.$

Thus, the correct answer is C.

37.

La base de un triángulo isósceles mide $6$ pulgadas y cada uno de los lados iguales mide $12$ pulgadas. El radio del círculo que pasa por los vértices del triángulo es:

The base of an isosceles triangle is $6$ inches and one of the equal sides is $12$ inches. The radius of the circle through the vertices of the triangle is:

$\dfrac{7\sqrt{15}}5$

$4\sqrt3$

$3\sqrt5$

$6\sqrt3$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: E

Conceptos:triángulo isósceles circumradius Heron formula

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Traza la altura para dividir la base en dos segmentos de longitud $3$

Drop the altitude to split the base into two segments of length $3$

Pista grande:

Calcula el área y luego usa $R=\frac{abc}{4K}$

Find the area, then use $R=\frac{abc}{4K}$

Solución:

La altura es $\sqrt{12^2-3^2}=3\sqrt{15},$ así que el área es $K=\tfrac12(6)(3\sqrt{15})=9\sqrt{15}.$ Por lo tanto, el circunradio es $R=\frac{(12)(12)(6)}{4(9\sqrt{15})} =\frac{8\sqrt{15}}5.$ Este valor no aparece entre las opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The altitude is $\sqrt{12^2-3^2}=3\sqrt{15},$ so the area is $K=\tfrac12(6)(3\sqrt{15})=9\sqrt{15}.$ Hence the circumradius is $R=\frac{(12)(12)(6)}{4(9\sqrt{15})} =\frac{8\sqrt{15}}5.$ This value is not listed.

Thus, the correct answer is E.

38.

Si $f(a)=a-2$ y $F(a,b)=b^2+a,$ entonces $F[3,f(4)]$ es:

If $f(a)=a-2$ and $F(a,b)=b^2+a,$ then $F[3,f(4)]$ is:

$a^2-4a+7$

$28$

$7$

$8$

$11$

Respuesta: C

Conceptos:function notation composition sustitución

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Evalúa primero la función interior $f(4)$

Evaluate the inner function $f(4)$ first

Pista grande:

Luego sustituye $a=3$ y el valor resultante de $b$ en $F(a,b)$

Then substitute $a=3$ and the resulting value for $b$ into $F(a,b)$

Solución:

Primero, $f(4)=4-2=2.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} F[3,f(4)]&=F(3,2)\\ &=2^2+3=7. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

First $f(4)=4-2=2.$ Therefore $\begin{aligned} F[3,f(4)]&=F(3,2)\\ &=2^2+3=7. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

39.

El producto $\log_a b\cdot\log_b a$ es igual a:

The product, $\log_a b\cdot\log_b a$ is equal to:

$1$

$a$

$b$

$ab$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A

Conceptos:logarithms change of base

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Usa la fórmula de cambio de base en ambos logaritmos

Use the change-of-base formula on both logarithms

Pista grande:

Las dos fracciones resultantes son recíprocas

The two resulting fractions are reciprocals

Solución:

Para bases y argumentos admisibles, $\begin{aligned} \log_a b\cdot\log_b a &=\frac{\log b}{\log a}\\ &\quad{}\cdot\frac{\log a}{\log b}\\ &=1. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For permissible bases and arguments, $\begin{aligned} \log_a b\cdot\log_b a &=\frac{\log b}{\log a}\\ &\quad{}\cdot\frac{\log a}{\log b}\\ &=1. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is A.

40.

La negación de la afirmación «todos los hombres son honrados» es:

The negation of the statement “all men are honest,” is:

ningún hombre es honrado

no men are honest

todos los hombres son deshonestos

all men are dishonest

algunos hombres son deshonestos

some men are dishonest

ningún hombre es deshonesto

no men are dishonest

algunos hombres son honrados

some men are honest

Respuesta: C

Conceptos:logic quantifiers negation

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Para refutar una afirmación universal, basta un solo contraejemplo

To disprove a universal statement, only one counterexample is needed

Pista grande:

Negar «todo hombre es honrado» afirma que al menos un hombre no lo es

Negating “every man is honest” asserts that at least one man is not honest

Solución:

La negación de «todo hombre es honrado» es «existe un hombre que no es honrado». En los términos de las opciones, algunos hombres son deshonestos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The negation of “every man is honest” is “there exists a man who is not honest.” In the language of the choices, some men are dishonest.

Thus, the correct answer is C.

41.

Un campamento de niñas está situado a $300$ varas inglesas de un camino recto. Sobre ese camino hay un campamento de niños situado a $500$ varas inglesas del campamento de niñas. Se desea construir sobre el camino una cantina que esté exactamente a la misma distancia de ambos campamentos. La distancia de la cantina a cada campamento es:

A girls’ camp is located $300$ rods from a straight road. On this road, a boys’ camp is located $500$ rods from the girls’ camp. It is desired to build a canteen on the road which shall be exactly the same distance from each camp. The distance of the canteen from each of the camps is:

$400$ varas inglesas

$400$ rods

$250$ varas inglesas

$250$ rods

$87.5$ varas inglesas

$87.5$ rods

$200$ varas inglesas

$200$ rods

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica Pythagorean theorem equidistance

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

La distancia perpendicular y la distancia entre los campamentos forman un triángulo rectángulo $300$ - $400$ - $500$

The perpendicular and camp-to-camp distances form a $300$ - $400$ - $500$ right triangle

Pista grande:

Coloca los campamentos en $(0,300)$ y $(400,0)$ , y la cantina en $(t,0)$

Place the camps at $(0,300)$ and $(400,0)$ , and put the canteen at $(t,0)$

Solución:

Sea $(0,0)$ el pie de la perpendicular trazada desde el campamento de niñas. Los campamentos se pueden colocar en $G=(0,300)$ y $B=(400,0).$ Si la cantina está en $C=(t,0),$ la igualdad de distancias da $t^2+300^2=(400-t)^2,$ por lo que $t=87.5.$ La distancia común es de $BC=400-87.5=312.5$ varas inglesas, valor que no aparece entre las opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the foot of the perpendicular from the girls’ camp be $(0,0).$ The camps can be placed at $G=(0,300)$ and $B=(400,0).$ If the canteen is $C=(t,0),$ equidistance gives $t^2+300^2=(400-t)^2,$ so $t=87.5.$ The common distance is $BC=400-87.5=312.5$ rods, which is not listed.

Thus, the correct answer is E.

42.

Los centros de dos círculos están separados $41$ pulgadas. El círculo menor tiene radio $4$ pulgadas y el mayor tiene radio $5$ pulgadas. La longitud de la tangente común interior es:

The centers of two circles are $41$ inches apart. The smaller circle has a radius of $4$ inches and the larger one has a radius of $5$ inches. The length of the common internal tangent is:

$41$ pulgadas

$41$ inches

$39$ pulgadas

$39$ inches

$39.8$ pulgadas

$39.8$ inches

$40.1$ pulgadas

$40.1$ inches

$40$ pulgadas

$40$ inches

Respuesta: E

Conceptos:circles common internal tangent Pythagorean theorem

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Para una tangente común interior, la separación perpendicular de los centros respecto de la tangente es la suma de los radios

For an internal common tangent, the perpendicular separation of the centers from the tangent is the sum of the radii

Pista grande:

Usa un triángulo rectángulo con hipotenusa $41$ y un cateto $4+5$

Use a right triangle with hypotenuse $41$ and one leg $4+5$

Solución:

El segmento entre los centros, el segmento tangente y un cateto perpendicular de longitud $4+5=9$ forman un triángulo rectángulo. Por lo tanto, la longitud de la tangente es $\sqrt{41^2-9^2}=\sqrt{1600}=40$ pulgadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The center segment, the tangent segment, and a perpendicular leg of length $4+5=9$ form a right triangle. Thus the tangent length is $\sqrt{41^2-9^2}=\sqrt{1600}=40$ inches.

Thus, the correct answer is E.

43.

Si el precio de un artículo aumenta en un porcentaje $p,$ entonces, para obtener el mismo ingreso, el porcentaje de disminución en las ventas no debe exceder $d$ . El valor de $d$ es:

If the price of an article is increased by per cent $p,$ then the decrease in per cent of sales must not exceed $d$ in order to yield the same income. The value of $d$ is:

$\dfrac1{1+p}$

$\dfrac1{1-p}$

$\dfrac p{1+p}$

$\dfrac p{p-1}$

$\dfrac{1-p}{1+p}$

Respuesta: C

Conceptos:revenue percentage change algebraic equation

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Representa el nuevo precio y la nueva cantidad vendida mediante los factores $1+p$ y $1-d$

Represent the new price and number sold by factors $1+p$ and $1-d$

Pista grande:

Para que el ingreso sea el mismo se requiere $(1+p)(1-d)=1$

Equal revenue requires $(1+p)(1-d)=1$

Solución:

Al escribir las tasas porcentuales como fracciones de las cantidades originales, la igualdad de ingresos exige $(1+p)(1-d)=1.$ Por consiguiente, $p-d-pd=0,$ de modo que $d=\frac p{1+p}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Writing the percentage rates as fractions of the original quantities, equal income requires $(1+p)(1-d)=1.$ Hence $p-d-pd=0,$ so $d=\frac p{1+p}.$

Thus, the correct answer is C.

44.

Al resolver un problema que se reduce a una ecuación cuadrática, un estudiante se equivoca solo en el término constante de la ecuación y obtiene $8$ y $2$ como raíces. Otro estudiante se equivoca solo en el coeficiente del término de primer grado y obtiene $-9$ y $-1$ como raíces. La ecuación correcta era:

In solving a problem that reduces to a quadratic equation one student makes a mistake only in the constant term of the equation and obtains $8$ and $2$ for the roots. Another student makes a mistake only in the coefficient of the first degree term and finds $-9$ and $-1$ for the roots. The correct equation was:

$x^2-10x+9=0$

$x^2+10x+9=0$

$x^2-10x+16=0$

$x^2-8x-9=0$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A

Conceptos:quadratic roots Vieta formulas coefficients

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

El coeficiente lineal correcto de la ecuación del primer estudiante se determina con la suma $8+2$

The first student’s correct linear coefficient is determined by the sum $8+2$

Pista grande:

El término constante correcto de la ecuación del segundo estudiante se determina con el producto $(-9)(-1)$

The second student’s correct constant term is determined by the product $(-9)(-1)$

Solución:

El primer estudiante cambió solo el término constante, así que el coeficiente correcto de $x$ es el de la cuadrática mónica con raíces $8$ y $2:$ es decir, $-(8+2)=-10.$ El segundo estudiante cambió solo ese coeficiente lineal, así que el término constante correcto es $(-9)(-1)=9.$ Por lo tanto, la ecuación correcta es $x^2-10x+9=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The first student changed only the constant term, so the correct coefficient of $x$ is the one in the monic quadratic with roots $8$ and $2:$ it is $-(8+2)=-10.$ The second student changed only that linear coefficient, so the correct constant is $(-9)(-1)=9.$ Therefore the correct equation is $x^2-10x+9=0.$

Thus, the correct answer is A.

45.

Las longitudes de dos segmentos son $a$ unidades y $b$ unidades, respectivamente. Entonces la relación correcta entre ellas es:

The lengths of two line segments are $a$ units and $b$ units respectively. Then the correct relation between them is:

$\dfrac{a+b}{2}\gt\sqrt{ab}$

$\dfrac{a+b}{2}\lt\sqrt{ab}$

$\dfrac{a+b}{2}=\sqrt{ab}$

$\dfrac{a+b}{2}\le\sqrt{ab}$

$\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$

Respuesta: E

Conceptos:AM-GM inequality equality case

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Comienza con el cuadrado no negativo $(a-b)^2$

Start with the nonnegative square $(a-b)^2$

Pista grande:

La igualdad debe seguir siendo posible cuando los dos segmentos tienen la misma longitud

Equality must remain possible when the two segment lengths are equal

Solución:

Como $(a-b)^2\ge0,$ se tiene $(a+b)^2\ge4ab.$ Ambos lados son no negativos, así que $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}.$ La igualdad ocurre cuando $a=b.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $(a-b)^2\ge0,$ we have $(a+b)^2\ge4ab.$ Both sides are nonnegative, so $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}.$ Equality occurs when $a=b.$

Thus, the correct answer is E.

46.

En lugar de caminar a lo largo de dos lados adyacentes de un campo rectangular, un muchacho tomó un atajo por la diagonal y ahorró una distancia igual a $\frac{1}{2}$ del lado mayor. La razón entre el lado menor y el lado mayor del rectángulo era:

Instead of walking along two adjacent sides of a rectangular field, a boy took a short-cut along the diagonal of the field and saved a distance equal to $\frac{1}{2}$ the longer side. The ratio of the shorter side of the rectangle to the longer side was:

$\dfrac12$

$\dfrac25$

$\dfrac14$

$\dfrac34$

$\dfrac25$

Respuesta: D

Conceptos:rectángulo Pythagorean theorem ratio

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Sean $L$ y $W$ los lados mayor y menor, respectivamente

Let the longer and shorter sides be $L$ and $W$

Pista grande:

La condición es $L+W-\sqrt{L^2+W^2}=\frac{L}{2}$

The condition is $L+W-\sqrt{L^2+W^2}=\frac{L}{2}$

Solución:

La condición del ahorro da $\sqrt{L^2+W^2}=\frac L2+W.$ Al elevar al cuadrado y cancelar $W^2$ , se obtiene $L^2=\frac{L^2}{4}+LW,$ por lo que $\frac{W}{L}=\frac{3}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The saving condition gives $\sqrt{L^2+W^2}=\frac L2+W.$ Squaring and canceling $W^2$ yields $L^2=\frac{L^2}{4}+LW,$ so $\frac{W}{L}=\frac{3}{4}.$

Thus, the correct answer is D.

47.

Si $x$ es mayor que cero, entonces la relación correcta es:

If $x$ is greater than zero, then the correct relationship is:

$\log(1+x)=\dfrac{x}{1+x}$

$\log(1+x)\lt\dfrac{x}{1+x}$

$\log(1+x)\gt x$

$\log(1+x)\lt x$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:logarithmic inequality exponential function

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Compara $1+x$ con una función exponencial para $x\gt0$

Compare $1+x$ with an exponential function for $x\gt0$

Pista grande:

La desigualdad estándar $\ln(1+x)\lt x$ es aún más fuerte para los logaritmos comunes

The standard inequality $\ln(1+x)\lt x$ is even stronger for common logarithms

Solución:

Para $x\gt0,$ la desigualdad exponencial estándar da $1+x\lt e^x.$ Al tomar logaritmos naturales se obtiene $\ln(1+x)\lt x.$ Si $\log$ denota el logaritmo común, entonces $\begin{aligned} \log(1+x)&=\frac{\ln(1+x)}{\ln10}\\ &\lt\ln(1+x), \end{aligned}$ por lo que también se cumple la desigualdad indicada.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $x\gt0,$ the standard exponential inequality gives $1+x\lt e^x.$ Taking natural logarithms yields $\ln(1+x)\lt x.$ If $\log$ denotes the common logarithm, then $\begin{aligned} \log(1+x)&=\frac{\ln(1+x)}{\ln10}\\ &\lt\ln(1+x), \end{aligned}$ so the same listed inequality holds.

Thus, the correct answer is D.

48.

Si la base mayor de un trapecio isósceles es igual a una diagonal y la base menor es igual a la altura, entonces la razón entre la base menor y la base mayor es:

If the larger base of an isosceles trapezoid equals a diagonal and the smaller base equals the altitude, then the ratio of the smaller base to the larger base is:

$\frac{1}{2}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{3}{4}$

$\frac{3}{5}$

$\frac{2}{5}$

Respuesta: D

Conceptos:isosceles trapezoid Pythagorean theorem ratio

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

La proyección horizontal de una diagonal es la mitad de la suma de las dos bases

A diagonal’s horizontal projection is half the sum of the two bases

Pista grande:

Escala la base mayor a $1$ y supón que tanto la base menor como la altura son $r$

Scale the larger base to $1$ , and let the smaller base and altitude both be $r$

Solución:

Sea $1$ la base mayor, y sean $r$ tanto la base menor como la altura. Una diagonal tiene proyección horizontal $\frac{1+r}{2}$ y longitud $1.$ Por lo tanto, $1=r^2+\left(\frac{1+r}{2}\right)^2.$ Esto se simplifica a $\begin{aligned} 5r^2+2r-3&=(5r-3)(r+1)\\ &=0. \end{aligned}$ La razón positiva es $r=\frac{3}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the larger base be $1,$ and let the smaller base and altitude both be $r.$ A diagonal has horizontal projection $\frac{1+r}{2}$ and length $1.$ Thus $1=r^2+\left(\frac{1+r}{2}\right)^2.$ This simplifies to $\begin{aligned} 5r^2+2r-3&=(5r-3)(r+1)\\ &=0. \end{aligned}$ The positive ratio is $r=\frac{3}{5}.$

Thus, the correct answer is D.

49.

Las coordenadas de $A,$ $B$ y $C$ son $(5,5),$ $(2,1)$ y $(0,k)$ , respectivamente. El valor de $k$ que hace que $\overline{AC}+\overline{BC}$ sea lo menor posible es:

The coordinates of $A,$ $B$ and $C$ are $(5,5),$ $(2,1)$ and $(0,k)$ respectively. The value of $k$ that makes $\overline{AC}+\overline{BC}$ as small as possible is:

$3$

$4\dfrac12$

$3\dfrac67$

$4\dfrac56$

$2\dfrac17$

Respuesta: E

Conceptos:reflection shortest path geometría analítica

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Refleja $B$ respecto del eje $y$ para que $BC$ se convierta en la distancia de $C$ al punto reflejado

Reflect $B$ across the $y$ -axis so that $BC$ becomes the distance from $C$ to the reflected point

Pista grande:

El camino quebrado más corto ocurre donde la recta de $A$ al punto reflejado corta el eje $y$

The shortest broken path occurs where the straight line from $A$ to the reflected point meets the $y$ -axis

Solución:

Refleja $B=(2,1)$ respecto del eje $y$ para obtener $B'=(-2,1).$ Para $C$ sobre el eje $y$ , $BC=B'C,$ así que $AC+BC$ se minimiza cuando $A,C,B'$ son colineales. La recta de $A=(5,5)$ a $B'=(-2,1)$ tiene pendiente $\frac{4}{7}.$ En $x=0,$ su altura es $5-\frac47(5)=\frac{15}{7}=2\frac17.$ Por consiguiente, $k=\frac{15}{7}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Reflect $B=(2,1)$ across the $y$ -axis to $B'=(-2,1).$ For $C$ on the $y$ -axis, $BC=B'C,$ so $AC+BC$ is minimized when $A,C,B'$ are collinear. The line from $A=(5,5)$ to $B'=(-2,1)$ has slope $\frac{4}{7}.$ At $x=0,$ its height is $5-\frac47(5)=\frac{15}{7}=2\frac17.$ Hence $k=\frac{15}{7}.$

Thus, the correct answer is E.

50.

El punto de tangencia del círculo inscrito divide uno de los lados de un triángulo en segmentos de $6$ y $8$ unidades. Si el radio del círculo es $4,$ entonces la longitud del lado más corto del triángulo es:

One of the sides of a triangle is divided into segments of $6$ and $8$ units by the point of tangency of the inscribed circle. If the radius of the circle is $4,$ then the length of the shortest side of the triangle is:

$12$ unidades

$12$ units

$13$ unidades

$13$ units

$14$ unidades

$14$ units

$15$ unidades

$15$ units

$16$ unidades

$16$ units

Respuesta: B

Conceptos:incircle tangent lengths Heron formula triangle

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Los segmentos tangentes desde un mismo vértice son iguales, de modo que los tres lados son $14,$ $6+z,$ y $8+z$ para algún $z$

Equal tangent segments from a vertex make the three sides $14,$ $6+z,$ and $8+z$ for some $z$

Pista grande:

Usa tanto $K=rs$ como la fórmula de Herón con semiperímetro $s=14+z$

Use both $K=rs$ and Heron’s formula with semiperimeter $s=14+z$

Solución:

Sean de longitud $z$ los dos segmentos tangentes trazados desde el tercer vértice. La igualdad de los segmentos tangentes desde un mismo vértice hace que las longitudes de los lados sean $14,\qquad 6+z,\qquad 8+z,$ con semiperímetro $s=14+z.$ Como el inradio es $4,$ $K=rs=4(14+z).$ La fórmula de Herón da $\begin{aligned} K^2 &=(14+z)z\cdot8\cdot6\\ &=48z(14+z). \end{aligned}$ Al igualar los cuadrados se obtiene $16(14+z)=48z,$ de donde $z=7.$ Los lados son $14,$ $13,$ y $15,$ y el menor mide $13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the two tangent segments from the third vertex each have length $z.$ Equal tangents from a common vertex make the side lengths $14,\qquad 6+z,\qquad 8+z,$ with semiperimeter $s=14+z.$ Since the inradius is $4,$ $K=rs=4(14+z).$ Heron’s formula gives $\begin{aligned} K^2 &=(14+z)z\cdot8\cdot6\\ &=48z(14+z). \end{aligned}$ Equating the squares yields $16(14+z)=48z,$ so $z=7.$ The sides are $14,$ $13,$ and $15,$ and the shortest is $13.$

Thus, the correct answer is B.

Problemas del 1953 AMC 12

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Pista grande: