Question

Las longitudes de dos segmentos son $a$ unidades y $b$ unidades, respectivamente. Entonces la relación correcta entre ellas es:

The lengths of two line segments are $a$ units and $b$ units respectively. Then the correct relation between them is:

$\dfrac{a+b}{2}\gt\sqrt{ab}$

$\dfrac{a+b}{2}\lt\sqrt{ab}$

$\dfrac{a+b}{2}=\sqrt{ab}$

$\dfrac{a+b}{2}\le\sqrt{ab}$

$\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$

Comienza con el cuadrado no negativo $(a-b)^2$

Start with the nonnegative square $(a-b)^2$

La igualdad debe seguir siendo posible cuando los dos segmentos tienen la misma longitud

Equality must remain possible when the two segment lengths are equal

Como $(a-b)^2\ge0,$ se tiene $(a+b)^2\ge4ab.$ Ambos lados son no negativos, así que $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}.$ La igualdad ocurre cuando $a=b.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $(a-b)^2\ge0,$ we have $(a+b)^2\ge4ab.$ Both sides are nonnegative, so $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}.$ Equality occurs when $a=b.$

Thus, the correct answer is E.