1958 AMC 12 Problema 45

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

45.

Un cheque se escribe por xx dólares y yy centavos, con xx y yy ambos de dos cifras. Por error se cobra por yy dólares y xx centavos, excediendo la cantidad correcta en $17.82.\$17.82. Entonces:

A check is written for xx dollars and yy cents, xx and yy both two-digit numbers. In error it is cashed for yy dollars and xx cents, the incorrect amount exceeding the correct amount by $17.82.\$17.82. Then:

xx no puede exceder 7070

xx cannot exceed 7070

yy puede ser igual a 2x2x

yy can equal 2x2x

la cantidad del cheque no puede ser múltiplo de 55

the amount of the check cannot be a multiple of 55

la cantidad incorrecta puede ser el doble de la correcta

the incorrect amount can equal twice the correct amount

la suma de los dígitos de la cantidad correcta es divisible por 99

the sum of the digits of the correct amount is divisible by 99

Respuesta: B
Conceptos:dinerodígitosecuación lineal
Nivel de dificultad: 1790
Pista pequeña:

Escribe las cantidades correcta e incorrecta en centavos

Write the correct and incorrect amounts in cents

Pista grande:

Su diferencia se simplifica a 99(yx)99(y-x)

Their difference simplifies to 99(yx)99(y-x)

Solución:

En centavos, la cantidad incorrecta menos la correcta es (100y+x)(100x+y)=99(yx). \begin{aligned} &(100y+x)-(100x+y)\\ &\qquad=99(y-x). \end{aligned} Como $17.82\$17.82 son 17821782 centavos, 99(yx)=1782, 99(y-x)=1782, así que yx=18.y-x=18. Los valores de dos cifras x=18, y=36x=18,\ y=36 satisfacen la relación y y=2x.y=2x. Por tanto, esa igualdad puede ocurrir.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

In cents, the incorrect amount minus the correct amount is (100y+x)(100x+y)=99(yx). \begin{aligned} &(100y+x)-(100x+y)\\ &\qquad=99(y-x). \end{aligned} Since $17.82\$17.82 is 17821782 cents, 99(yx)=1782, 99(y-x)=1782, so yx=18.y-x=18. The two-digit values x=18, y=36x=18,\ y=36 satisfy this relation and have y=2x.y=2x. Thus that equality can occur.

Therefore, the correct answer is B.

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