Question

Los pares de valores de $x$ y $y$ que son soluciones comunes de las ecuaciones $y=(x+1)^2$ y $xy+y=1$ son:

The pairs of values of $x$ and $y$ that are the common solutions of the equations $y=(x+1)^2$ and $xy+y=1$ are:

$3$ pares reales

$3$ real pairs

$4$ pares reales

$4$ real pairs

$4$ pares imaginarios

$4$ imaginary pairs

$2$ pares reales y $2$ pares imaginarios

$2$ real and $2$ imaginary pairs

$1$ par real y $2$ pares imaginarios

$1$ real and $2$ imaginary pairs

Respuesta: E

Conceptos:simultaneous equations cube roots of unity complex solutions

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Reescribe la segunda ecuación como $y(x+1)=1$

Rewrite the second equation as $y(x+1)=1$

Pista grande:

Sustituye $y=(x+1)^2$ para obtener una cúbica en $x+1$

Substitute $y=(x+1)^2$ to obtain a cubic in $x+1$

Solución:

La sustitución en $y(x+1)=1$ da $(x+1)^3=1.$ Las tres raíces cúbicas de $1$ constan de una raíz real y dos no reales. Cada una determina exactamente un valor correspondiente $y=(x+1)^2.$ Por lo tanto, hay un par real y dos pares imaginarios.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Substitution into $y(x+1)=1$ gives $(x+1)^3=1.$ The three cube roots of $1$ consist of one real root and two nonreal roots. Each determines exactly one corresponding value $y=(x+1)^2.$ Therefore there is one real pair and two imaginary pairs.

Thus, the correct answer is E.

1955 AMC 12 Problema 43

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 43 en otros años