Question

Si $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos, los radicales $\sqrt{a+\dfrac bc}$ y $a\sqrt{\dfrac bc}$ son iguales si y solo si:

If $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, the radicals $\sqrt{a+\dfrac bc}$ and $a\sqrt{\dfrac bc}$ are equal when and only when:

$a=b=c=1$

$a=b$ y $c=a=1$

$a=b$ and $c=a=1$

$c=\dfrac{b(a^2-1)}a$

$a=b$ y $c$ tiene cualquier valor

$a=b$ and $c$ is any value

$a=b$ y $c=a-1$

$a=b$ and $c=a-1$

Respuesta: C

Conceptos:radical equation algebraic equivalence positive quantities

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Ambos lados son positivos, así que eleva al cuadrado la igualdad

Both sides are positive, so square the equality

Pista grande:

Multiplica la ecuación resultante por $c$ y despeja $c$

Multiply the resulting equation by $c$ and isolate $c$

Solución:

Como todas las cantidades son positivas, elevar al cuadrado es reversible: $a+\frac bc=a^2\frac bc.$ Al multiplicar por $c$ se obtiene $ac+b=a^2b,$ de modo que $c=\frac{b(a^2-1)}a.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because all quantities are positive, squaring is reversible: $a+\frac bc=a^2\frac bc.$ Multiplying by $c$ gives $ac+b=a^2b,$ so $c=\frac{b(a^2-1)}a.$

Thus, the correct answer is C.

1955 AMC 12 Problema 42

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 42 en otros años