Question

Si $x$ es igual a $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}},$ entonces:

If $x$ equals $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}},$ then:

$x=1$

$0\lt x\lt1$

$1\lt x\lt2$

$x$ es infinito

$x$ is infinite

$x\gt2$ , pero es finito

$x\gt2$ but finite

La expresión bajo el primer radical contiene otra copia de $x$

The expression under the first radical contains another copy of $x$

Resuelve $x=\sqrt{1+x}$ y conserva la raíz no negativa

Solve $x=\sqrt{1+x}$ and keep the nonnegative root

La cola repetitiva da $x=\sqrt{1+x},$ por lo que $x^2-x-1=0.$ Como $x\ge0,$ se tiene $x=\frac{1+\sqrt5}{2},$ que está estrictamente entre $1$ y $2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The repeating tail gives $x=\sqrt{1+x},$ so $x^2-x-1=0.$ Since $x\ge0,$ $x=\frac{1+\sqrt5}{2},$ which lies strictly between $1$ and $2.$

Thus, the correct answer is C.