Question

En un círculo de centro $O,$ las cuerdas $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ son iguales. La cuerda $\overline{AD}$ corta $\overline{BC}$ en $E.$ Si $AC=12$ y $AE=8,$ entonces $AD$ es:

In a circle with center $O,$ chord $\overline{AB}$ equals chord $\overline{AC}.$ Chord $\overline{AD}$ cuts $\overline{BC}$ in $E.$ If $AC=12$ and $AE=8,$ then $AD$ equals:

$27$

$24$

$21$

$20$

$18$

Respuesta: E

Conceptos:cuerda ángulo inscrito semejanza

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Compara los triángulos $AEC$ y $ACD$

Compare triangles $AEC$ and $ACD$

Pista grande:

Los ángulos $ACE$ y $ADC$ subtienden las cuerdas iguales $AB$ y $AC$

Angles $ACE$ and $ADC$ subtend the equal chords $AB$ and $AC$

Solución:

Como $E$ está en $BC$ y $AD,$ los triángulos $AEC$ y $ACD$ comparten el ángulo $A.$ Además, $\angle ACE=\angle ACB$ subtiende $AB,$ mientras $\angle ADC$ subtiende $AC.$ Como $AB=AC,$ estos ángulos son iguales. Por tanto, $\triangle AEC\sim\triangle ACD.$ Los lados correspondientes dan $\frac{AE}{AC}=\frac{AC}{AD}.$ Así, $\frac{8}{12}=\frac{12}{AD},$ y $AD=18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Because $E$ lies on $BC$ and $AD,$ triangles $AEC$ and $ACD$ share angle $A.$ Also $\angle ACE=\angle ACB$ subtends chord $AB,$ while $\angle ADC$ subtends chord $AC.$ Since $AB=AC,$ these angles are equal. Thus $\triangle AEC\sim\triangle ACD.$ Corresponding sides give $\frac{AE}{AC}=\frac{AC}{AD}.$ Therefore $\frac{8}{12}=\frac{12}{AD},$ so $AD=18.$

Thus, the correct answer is E.

1958 AMC 12 Problema 42

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 42 en otros años