Question

Las raíces de $Ax^2+Bx+C=0$ son $r$ y $s.$ Para que las raíces de

$x^2+px+q=0$

sean $r^2$ y $s^2,$ $p$ debe ser:

The roots of $Ax^2+Bx+C=0$ are $r$ and $s.$ For the roots of

$x^2+px+q=0$

to be $r^2$ and $s^2,$ $p$ must equal:

$\dfrac{B^2-4AC}{A^2}$

$\dfrac{B^2-2AC}{A^2}$

$\dfrac{2AC-B^2}{A^2}$

$B^2-2C$

$2C-B^2$

Respuesta: C

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

En la nueva cuadrática mónica, $p$ es el opuesto de $r^2+s^2$

For the new monic quadratic, $p$ is the negative of the sum $r^2+s^2$

Pista grande:

Escribe $r^2+s^2=(r+s)^2-2rs$ y usa Vieta en la cuadrática original

Write $r^2+s^2=(r+s)^2-2rs$ and use Vieta’s formulas for the original quadratic

Solución:

Para la cuadrática original, $r+s=-\frac BA,\qquad rs=\frac CA.$ Entonces $\begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=\frac{B^2-2AC}{A^2}. \end{aligned}$ El coeficiente $p$ es el opuesto de esta suma, así que $p=\frac{2AC-B^2}{A^2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For the original quadratic, $r+s=-\frac BA,\qquad rs=\frac CA.$ Hence $\begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=\frac{B^2-2AC}{A^2}. \end{aligned}$ The coefficient $p$ is the negative of this sum, so $p=\frac{2AC-B^2}{A^2}.$

Therefore, the correct answer is C.

1958 AMC 12 Problema 41

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 41 en otros años