Question

Aumentar el radio de un cilindro en $6$ unidades aumenta el volumen en $y$ unidades cúbicas. Aumentar la altura del cilindro en $6$ unidades también aumenta el volumen en $y$ unidades cúbicas. Si la altura original es $2,$ entonces el radio original es:

Increasing the radius of a cylinder by $6$ units increases the volume by $y$ cubic units. Increasing the altitude of the cylinder by $6$ units also increases the volume by $y$ cubic units. If the original altitude is $2,$ then the original radius is:

$2$

$4$

$6$

$6\pi$

$8$

Respuesta: C

Conceptos:cilindro volumen cuadrática

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Sea $r$ el radio original y escribe cada uno de los dos aumentos de volumen

Let the original radius be $r$ and write each of the two volume increases

Pista grande:

Iguala $2\pi((r+6)^2-r^2)$ y $6\pi r^2$

Equate $2\pi((r+6)^2-r^2)$ and $6\pi r^2$

Solución:

Con altura original $2$ y radio $r,$ aumentar el radio añade $2\pi\bigl((r+6)^2-r^2\bigr)=24\pi r+72\pi$ unidades cúbicas. Aumentar la altura en $6$ añade $6\pi r^2$ unidades cúbicas. Al igualarlos se obtiene $6r^2=24r+72,$ o $r^2-4r-12=0.$ Su raíz positiva es $r=6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

With original height $2$ and radius $r,$ increasing the radius adds $2\pi\bigl((r+6)^2-r^2\bigr)=24\pi r+72\pi$ cubic units. Increasing the height by $6$ adds $6\pi r^2$ cubic units. Equating these gives $6r^2=24r+72,$ or $r^2-4r-12=0.$ Its positive root is $r=6.$

Thus, the correct answer is C.

1952 AMC 12 Problema 41

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 41 en otros años