Question

将一个圆柱的半径增加 $6$ 个单位，体积增加 $y$ 个立方单位。将该圆柱的高增加 $6$ 个单位，体积也增加 $y$ 个立方单位。若原来的高为 $2$ ，则原来的半径为：

Increasing the radius of a cylinder by $6$ units increases the volume by $y$ cubic units. Increasing the altitude of the cylinder by $6$ units also increases the volume by $y$ cubic units. If the original altitude is $2,$ then the original radius is:

$2$

$4$

$6$

$6\pi$

$8$

答案：C

知识点：圆柱体积二次方程

难度评级：1770

小提示：

设原半径为 $r$ ，分别写出两种体积增量

Let the original radius be $r$ and write each of the two volume increases

大提示：

令 $2\pi((r+6)^2-r^2)$ 与 $6\pi r^2$ 相等

Equate $2\pi((r+6)^2-r^2)$ and $6\pi r^2$

解答：

原高为 $2$ 、原半径为 $r$ 时，增加半径所增加的体积为 $2\pi\bigl((r+6)^2-r^2\bigr)=24\pi r+72\pi$ 个立方单位。将高增加 $6$ 所增加的体积为 $6\pi r^2$ 个立方单位。令二者相等，得到 $6r^2=24r+72\text{，}$ 即 $r^2-4r-12=0$ 。其正根为 $r=6$ 。

因此，正确答案是 C。

With original height $2$ and radius $r,$ increasing the radius adds $2\pi\bigl((r+6)^2-r^2\bigr)=24\pi r+72\pi$ cubic units. Increasing the height by $6$ adds $6\pi r^2$ cubic units. Equating these gives $6r^2=24r+72,$ or $r^2-4r-12=0.$ Its positive root is $r=6.$

Thus, the correct answer is C.

1952 AMC 12 第 41 题

答案：C

难度评级：1770

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 41 题