Question

给定方程组

$\begin{aligned} ax+(a-1)y&=1,\\ (a+1)x-ay&=1 \end{aligned}\text{。}$

当 $a$ 取下列哪个值时，这个方程组没有关于 $x$ 与 $y$ 的解？

Given the system of equations

$\begin{aligned} ax+(a-1)y&=1,\\ (a+1)x-ay&=1. \end{aligned}$

For which one of the following values of $a$ is there no solution for $x$ and $y?$

$1$

$0$

$-1$

$\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$

$\pm\sqrt2$

答案：D

知识点：方程组行列式

难度评级：1590

小提示：

当系数行列式为零时，一个 $2\times2$ 方程组可能没有唯一解

A $2\times2$ system can fail to have a unique solution when its coefficient determinant is zero

大提示：

计算 $a(-a)-(a-1)(a+1)$

Compute $a(-a)-(a-1)(a+1)$

解答：

系数行列式为 $\begin{aligned} &a(-a)-(a-1)(a+1)\\ &\quad=1-2a^2 \end{aligned}\text{。}$ 当 $a=\pm\frac{\sqrt2}{2}$ 时，它等于零。对这两个值中的任一个，两个系数行成比例，但右端的两个数不满足相同比例，所以方程组不相容。

因此，正确答案是 D。

The coefficient determinant is $\begin{aligned} &a(-a)-(a-1)(a+1)\\ &\quad=1-2a^2. \end{aligned}$ It vanishes when $a=\pm\frac{\sqrt2}{2}.$ For either value, the two coefficient rows are proportional but the two right sides are not in the same ratio, so the system is inconsistent.

Thus, the correct answer is D.

1957 AMC 12 第 41 题

答案：D

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 41 题