Question

若 $S=i^n+i^{-n}$ ，其中 $i=\sqrt{-1}$ ，且 $n$ 为整数，则 $S$ 可能具有的不同值共有：

If $S=i^n+i^{-n},$ where $i=\sqrt{-1}$ and $n$ is an integer, then the total number of possible distinct values for $S$ is:

$1$

$2$

$3$

$4$

多于 $4$

more than $4$

答案：C

知识点：复数单位根模运算

难度评级：1530

小提示：

$i$ 的幂以四为周期重复

Powers of $i$ repeat with period four

大提示：

对 $n$ 模 $4$ 的每个余数类各检查一个代表

Check one representative of each residue class of $n$ modulo $4$

解答：

若 $n$ 为偶数，则 $i^n$ 为 $1$ 或 $-1$ ，且等于其倒数，所以 $S=2$ 或 $-2$ 。若 $n$ 为奇数，则两项按某种顺序分别为 $i$ 与 $-i$ ，所以 $S=0$ 。因此，不同的值为 $-2,\ 0,\ 2\text{，}$ 共三个。

因此，正确答案是 C。

If $n$ is even, $i^n$ is $1$ or $-1$ and equals its reciprocal, so $S=2$ or $-2.$ If $n$ is odd, the two terms are $i$ and $-i,$ in some order, so $S=0.$ Thus the distinct values are $-2,\ 0,\ 2,$ three values.

Therefore, the correct answer is C.

1957 AMC 12 第 42 题

答案：C

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 42 题