Question

给定三个正整数 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 。它们的最大公因数为 $D$ ，最小公倍数为 $M$ 。下列哪两个陈述正确？

$(1)$ 乘积 $MD$ 不可能小于 $abc$ 。

$(2)$ 乘积 $MD$ 不可能大于 $abc$ 。

$(3)$ 当且仅当 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 都是质数时， $MD$ 等于 $abc$ 。

$(4)$ 当且仅当 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 两两互质时， $MD$ 等于 $abc$ 。（即任意两个数都没有大于 $1$ 的公因数。）

Given three positive integers $a,$ $b,$ and $c.$ Their greatest common divisor is $D;$ their least common multiple is $M.$ Then, which two of the following statements are true?

$(1)$ The product $MD$ cannot be less than $abc.$

$(2)$ The product $MD$ cannot be greater than $abc.$

$(3)$ $MD$ equals $abc$ if and only if $a,$ $b,$ $c$ are each prime.

$(4)$ $MD$ equals $abc$ if and only if $a,$ $b,$ $c$ are relatively prime in pairs. (This means: no two have a common factor greater than $1.$ )

$1$ 、 $2$

$1,$ $2$

$1$ 、 $3$

$1,$ $3$

$1$ 、 $4$

$1,$ $4$

$2$ 、 $3$

$2,$ $3$

$2$ 、 $4$

$2,$ $4$

答案：E

知识点：最大公约数最小公倍数质因数分解

难度评级：1790

小提示：

对任一质数，将它在 $a,b,c$ 中的指数按 $u\le v\le w$ 排列

For one prime, order its exponents in $a,b,c$ as $u\le v\le w$

大提示：

比较它在 $MD$ 中的指数 $u+w$ 与在 $abc$ 中的指数 $u+v+w$

Compare the exponent $u+w$ in $MD$ with the exponent $u+v+w$ in $abc$

解答：

对任一质数，设它在 $a,b,c$ 中的指数为 $u\le v\le w$ 。它在 $MD$ 中的指数为 $u+w$ ，而在 $abc$ 中的指数为 $u+v+w$ 。因此 $MD\le abc$ ，证明了陈述 $(2)$ 。对每个质数都恰有 $v=0$ 时等号成立，这意味着没有任何质数同时整除 $a,b,c$ 中的两个数。这正是两两互质，证明了陈述 $(4)$ 。

因此，正确答案是 E。

For any prime, let its exponents in $a,b,c$ be $u\le v\le w.$ Its exponent in $MD$ is $u+w,$ while its exponent in $abc$ is $u+v+w.$ Thus $MD\le abc,$ proving statement $(2).$ Equality holds exactly when $v=0$ for every prime, meaning no prime divides two of $a,b,c.$ That is precisely pairwise relative primality, proving statement $(4).$

Therefore, the correct answer is E.

1959 AMC 12 第 42 题

答案：E

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 42 题