Question

当 $x$ 等于下列哪个值时，方程 $x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}=2$ 成立？

The equation $x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}=2$ is satisfied when $x$ is equal to:

无穷大

Infinity

$2$

$\sqrt[4]{2}$

$\sqrt2$

以上答案均不正确

None of these

答案：D

知识点：指数递推

难度评级：1830

小提示：

最底层 $x$ 上方的指数仍是整个无限幂塔

The exponent above the first $x$ is the entire infinite tower again

大提示：

用已知值 $2$ 代替重复出现的幂塔

Replace that repeated tower by its given value $2$

解答：

设无限幂塔的值为 $T$ 。去掉最底层的 $x$ 后，指数部分仍是同一个幂塔，所以 $T=x^T$ 。由于 $T=2$ ，得到 $2=x^2\text{。}$ 因此，正底数为 $x=\sqrt2$ ，此时幂塔收敛。

因此，正确答案是 D。

Let the value of the infinite tower be $T.$ Removing its bottom $x$ leaves the same tower as the exponent, so $T=x^T.$ Since $T=2,$ we obtain $2=x^2.$ The positive base is therefore $x=\sqrt2,$ for which the tower is convergent.

Thus, the correct answer is D.

1950 AMC 12 第 42 题

答案：D

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 42 题