Question

若 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 均为正整数，则根式 $\sqrt{a+\dfrac bc}$ 与 $a\sqrt{\dfrac bc}$ 相等的充要条件是：

If $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, the radicals $\sqrt{a+\dfrac bc}$ and $a\sqrt{\dfrac bc}$ are equal when and only when:

$a=b=c=1$

$a=b$ 且 $c=a=1$

$a=b$ and $c=a=1$

$c=\dfrac{b(a^2-1)}a$

$a=b$ 且 $c$ 可取任意值

$a=b$ and $c$ is any value

$a=b$ 且 $c=a-1$

$a=b$ and $c=a-1$

等式两边均为正数，所以将两边平方

Both sides are positive, so square the equality

将所得方程乘以 $c$ ，再解出 $c$

Multiply the resulting equation by $c$ and isolate $c$

由于所有量均为正数，平方是等价变形： $a+\frac bc=a^2\frac bc\text{。}$ 两边乘以 $c$ ，得 $ac+b=a^2b$ ，所以 $c=\frac{b(a^2-1)}a\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Because all quantities are positive, squaring is reversible: $a+\frac bc=a^2\frac bc.$ Multiplying by $c$ gives $ac+b=a^2b,$ so $c=\frac{b(a^2-1)}a.$

Thus, the correct answer is C.