Question

方程 $y=(x+1)^2$ 与 $xy+y=1$ 的公共解中， $x$ 与 $y$ 的取值对共有：

The pairs of values of $x$ and $y$ that are the common solutions of the equations $y=(x+1)^2$ and $xy+y=1$ are:

$3$ 对实数解

$3$ real pairs

$4$ 对实数解

$4$ real pairs

$4$ 对虚数解

$4$ imaginary pairs

$2$ 对实数解和 $2$ 对虚数解

$2$ real and $2$ imaginary pairs

$1$ 对实数解和 $2$ 对虚数解

$1$ real and $2$ imaginary pairs

答案：E

知识点：simultaneous equations cube roots of unity complex solutions

难度评级：1720

小提示：

将第二个方程改写为 $y(x+1)=1$

Rewrite the second equation as $y(x+1)=1$

大提示：

代入 $y=(x+1)^2$ ，得到关于 $x+1$ 的三次方程

Substitute $y=(x+1)^2$ to obtain a cubic in $x+1$

解答：

代入 $y(x+1)=1$ ，得 $(x+1)^3=1\text{。}$ $1$ 的三个立方根包括一个实根和两个非实根。每个根都恰好确定一个对应的 $y=(x+1)^2$ 。因此有一对实数解和两对虚数解。

因此，正确答案是 E。

Substitution into $y(x+1)=1$ gives $(x+1)^3=1.$ The three cube roots of $1$ consist of one real root and two nonreal roots. Each determines exactly one corresponding value $y=(x+1)^2.$ Therefore there is one real pair and two imaginary pairs.

Thus, the correct answer is E.

1955 AMC 12 第 43 题

答案：E

难度评级：1720

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 43 题