Question

在圆 $O$ 中，延长弦 $\overline{AB}$ ，使 $\overline{BC}$ 等于圆的半径。连接 $\overline{CO}$ 并延长至 $D$ 。连接 $\overline{AO}$ 。下列哪一项表示角 $x$ 与 $y$ 的关系？

In circle $O$ chord $\overline{AB}$ is produced so that $\overline{BC}$ equals a radius of the circle. $\overline{CO}$ is drawn and extended to $D.$ $\overline{AO}$ is drawn. Which of the following expresses the relationship between angles $x$ and $y?$

$x=3y$

$x=2y$

$x=60^\circ$

$x$ 与 $y$ 之间没有特殊关系

there is no special relationship between $x$ and $y$

$x=2y$ 或 $x=3y$ ，取决于 $\overline{AB}$ 的长度

$x=2y$ or $x=3y,$ depending upon the length of $\overline{AB}$

答案：A

知识点：isosceles triangles exterior angle circle geometry

难度评级：1740

小提示：

由于 $OB=BC$ ，三角形 $OBC$ 是等腰三角形

Since $OB=BC,$ triangle $OBC$ is isosceles

大提示：

先使用 $B$ 点处的外角，再使用 $OA=OB$

Use the exterior angle at $B$ , then use $OA=OB$

解答：

因为 $OB=BC$ ，所以三角形 $OBC$ 是等腰三角形，故 $\angle BOC=\angle BCO=y$ 。因此它在 $B$ 点处的外角为 $\angle ABO=2y$ 。又因为 $OA=OB$ ，三角形 $AOB$ 也是等腰三角形，且 $\angle OAB=2y$ 。在三角形 $AOC$ 中， $A$ 点和 $C$ 点处的角分别为 $2y$ 和 $y$ ，所以 $\angle AOC=180^\circ-3y$ 。角 $x=\angle AOD$ 与 $\angle AOC$ 互为补角，因此 $x=3y$ 。

因此，正确答案是 A。

Because $OB=BC,$ triangle $OBC$ is isosceles, so $\angle BOC=\angle BCO=y.$ Its exterior angle at $B$ is therefore $\angle ABO=2y.$ Since $OA=OB,$ triangle $AOB$ is also isosceles and $\angle OAB=2y.$ In triangle $AOC,$ the angles at $A$ and $C$ are $2y$ and $y,$ so $\angle AOC=180^\circ-3y.$ Angle $x=\angle AOD$ is supplementary to $\angle AOC,$ hence $x=3y.$

Thus, the correct answer is A.

1955 AMC 12 第 44 题

答案：A

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 44 题