Question

给定一个首项 $\ne0$ 且 $r\ne0$ 的等比数列，以及一个首项 $=0$ 的等差数列。将这两个数列的对应项相加，得到第三个数列 $1$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ 。第三个数列前十项的和为：

Given a geometric sequence with the first term $\ne0$ and $r\ne0$ and an arithmetic sequence with the first term $=0.$ A third sequence $1,$ $1,$ $2,$ $\ldots$ is formed by adding corresponding terms of the two given sequences. The sum of the first ten terms of the third sequence is:

$978$

$557$

$467$

$1068$

无法由已知信息确定

not possible to determine from the information given

答案：A

知识点：等比数列等差数列 systems of equations

难度评级：1930

小提示：

将两个数列分别写成 $a,ar,ar^2,\ldots$ 和 $0,d,2d,\ldots$

Write the two sequences as $a,ar,ar^2,\ldots$ and $0,d,2d,\ldots$

大提示：

利用前三项之和以及条件 $r\ne0$ 求出 $a,r,d$

Use the first three sums and the condition $r\ne0$ to determine $a,r,d$

解答：

前三个对应项之和给出 $\begin{aligned} a&=1,\\ r+d&=1,\\ r^2+2d&=2 \end{aligned}\text{。}$ 代入 $d=1-r$ ，得 $r(r-2)=0$ 。由于 $r\ne0$ ，所以 $r=2$ ，且 $d=-1$ 。等比数列前十项之和为 $2^{10}-1=1023$ ，等差数列前十项之和为 $0-1-\cdots-9=-45$ 。两者之和为 $1023-45=978$ 。

因此，正确答案是 A。

The first three termwise sums give $\begin{aligned} a&=1,\\ r+d&=1,\\ r^2+2d&=2. \end{aligned}$ Substituting $d=1-r$ yields $r(r-2)=0.$ Since $r\ne0,$ we have $r=2$ and $d=-1.$ The first ten geometric terms sum to $2^{10}-1=1023,$ while the first ten arithmetic terms sum to $0-1-\cdots-9=-45.$ Their combined sum is $1023-45=978.$

Thus, the correct answer is A.

1955 AMC 12 第 45 题

答案：A

难度评级：1930

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 45 题