Question

若 $a$ 与 $b$ 是两个不相等的正数，则：

If $a$ and $b$ are two unequal positive numbers, then:

$\dfrac{2ab}{a+b}\gt\sqrt{ab}\gt\dfrac{a+b}{2}$

$\sqrt{ab}\gt\dfrac{2ab}{a+b}\gt\dfrac{a+b}{2}$

$\dfrac{2ab}{a+b}\gt\dfrac{a+b}{2}\gt\sqrt{ab}$

$\dfrac{a+b}{2}\gt\dfrac{2ab}{a+b}\gt\sqrt{ab}$

$\dfrac{a+b}{2}\gt\sqrt{ab}\gt\dfrac{2ab}{a+b}$

答案：E

知识点：算术-几何平均不等式调和平均数不等式

难度评级：1450

小提示：

识别 $a$ 与 $b$ 的算术平均数、几何平均数和调和平均数

Recognize the arithmetic, geometric, and harmonic means of $a$ and $b$

大提示：

对于不相等的正数，各平均值之间的不等式为严格不等式

For unequal positive numbers, the mean inequalities are strict

解答：

对不相等的正数 $a,b$ ，算术平均值与几何平均值不等式给出 $\frac{a+b}{2}\gt\sqrt{ab}\text{。}$ 对 $\frac{1}{a}$ 与 $\frac{1}{b}$ 使用同一不等式，得到 $\sqrt{ab}\gt\frac{2ab}{a+b}\text{。}$ 因此，从大到小依次为算术平均数、几何平均数、调和平均数。

因此，正确答案是 E。

The arithmetic-geometric mean inequality gives $\frac{a+b}{2}\gt\sqrt{ab}$ for unequal positive $a,b.$ Applying the same inequality to $\frac{1}{a}$ and $\frac{1}{b}$ gives $\sqrt{ab}\gt\frac{2ab}{a+b}.$ Therefore the decreasing order is arithmetic mean, geometric mean, harmonic mean.

Thus, the correct answer is E.

1952 AMC 12 第 45 题

答案：E

难度评级：1450

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 45 题