Question

若 $\dfrac{xy}{x+y}=a$ 、 $\dfrac{xz}{x+z}=b$ 、 $\dfrac{yz}{y+z}=c$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 均不为零，则 $x$ 等于：

If $\dfrac{xy}{x+y}=a,$ $\dfrac{xz}{x+z}=b,$ and $\dfrac{yz}{y+z}=c,$ where $a,$ $b,$ $c$ are other than zero, then $x$ equals:

$\dfrac{abc}{ab+ac+bc}$

$\dfrac{2abc}{ab+bc+ac}$

$\dfrac{2abc}{ab+ac-bc}$

$\dfrac{2abc}{ab+bc-ac}$

$\dfrac{2abc}{ac+bc-ab}$

答案：E

知识点：方程组代数变形

难度评级：1830

小提示：

将三个已知等式都取倒数，使其成为关于 $\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}$ 的线性等式

Invert all three given equations to make them linear in $\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}$

大提示：

计算 $\dfrac1b+\dfrac1a-\dfrac1c=\dfrac2x$

Compute $\dfrac1b+\dfrac1a-\dfrac1c=\dfrac2x$

解答：

分别取倒数，得到 $\begin{gathered} \frac1x+\frac1y=\frac1a,\\ \frac1x+\frac1z=\frac1b,\\ \frac1y+\frac1z=\frac1c \end{gathered}\text{。}$ 将前两式相加，再减去第三式，得到 $\begin{aligned} \frac2x &=\frac1a+\frac1b-\frac1c\\ &=\frac{ac+bc-ab}{abc} \end{aligned}\text{。}$ 因此 $x=\dfrac{2abc}{ac+bc-ab}$ 。

因此，正确答案是 E。

Inverting gives $\begin{gathered} \frac1x+\frac1y=\frac1a,\\ \frac1x+\frac1z=\frac1b,\\ \frac1y+\frac1z=\frac1c. \end{gathered}$ Adding the first two and subtracting the third yields $\begin{aligned} \frac2x &=\frac1a+\frac1b-\frac1c\\ &=\frac{ac+bc-ab}{abc}. \end{aligned}$ Hence $x=\dfrac{2abc}{ac+bc-ab}.$

Thus, the correct answer is E.

1951 AMC 12 第 44 题

答案：E

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 44 题