Question

将一个圆的直径分成 $n$ 等份，并以每一份为直径作半圆。当 $n$ 变得非常大时，这些半圆的弧长之和趋近于：

The diameter of a circle is divided into $n$ equal parts. On each part a semicircle is constructed. As $n$ becomes very large, the sum of the lengths of the arcs of the semicircles approaches a length:

原圆周长的一半

Equal to the semi-circumference of the original circle

原圆的直径

Equal to the diameter of the original circle

大于原圆的直径，但小于原圆周长的一半

Greater than the diameter but less than the semi-circumference of the original circle

无穷大

That is infinite

大于原圆周长的一半，但为有限值

Greater than the semi-circumference but finite

答案：A

知识点：圆弧圆周长

难度评级：1360

小提示：

设原圆直径为 $d$ ，则每个小半圆的直径为 $\frac{d}{n}$

Let the original diameter be $d$ , so each small semicircle has diameter $\frac{d}{n}$

大提示：

将一个小半圆的弧长乘以份数 $n$

Multiply the arc length of one small semicircle by the number $n$ of parts

解答：

每个小半圆的直径为 $\frac{d}{n}$ ，所以弧长为 $\frac{\pi d}{2n}$ 。全部 $n$ 条弧的长度之和为 $n\cdot\frac{\pi d}{2n}=\frac{\pi d}{2}\text{，}$ 恰好等于原圆周长的一半。这个等式对每个正 $n$ 都成立，而不仅仅在极限情况下成立。

因此，正确答案是 A。

Each small semicircle has diameter $\frac{d}{n},$ so its arc length is $\frac{\pi d}{2n}.$ The sum of all $n$ arc lengths is $n\cdot\frac{\pi d}{2n}=\frac{\pi d}{2},$ exactly the semi-circumference of the original circle. This equality holds for every positive $n,$ not merely in the limit.

Thus, the correct answer is A.

1952 AMC 12 第 43 题

答案：A

难度评级：1360

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 43 题