Question

$\overline{AB}$ 是直角三角形 $ABC$ 的斜边。中线 $AD=7$ ，中线 $BE=4$ 。 $AB$ 的长度为：

$\overline{AB}$ is the hypotenuse of a right triangle $ABC.$ Median $AD=7$ and median $BE=4.$ The length of $AB$ is:

$10$

$5\sqrt3$

$5\sqrt2$

$2\sqrt{13}$

$2\sqrt{15}$

答案：D

知识点：中线（几何）斯特瓦尔特定理勾股定理

难度评级：1990

小提示：

设角 $A$ 和 $B$ 所对直角边的平方分别为 $u$ 和 $v$

Let the legs opposite $A$ and $B$ have squared lengths $u$ and $v$

大提示：

同时使用两条中线公式和斜边的勾股关系

Use the two median formulas together with the Pythagorean relation for the hypotenuse

解答：

令 $a=BC$ 、 $b=CA$ 、 $c=AB$ 。由于直角在 $C$ ， $c^2=a^2+b^2$ 。中线公式给出 $\begin{aligned} 4(7^2) &=a^2+4b^2,\\ 4(4^2) &=4a^2+b^2 \end{aligned}\text{。}$ 解得 $a^2=4$ 和 $b^2=48$ 。因此 $\begin{aligned} AB=c &=\sqrt{a^2+b^2}\\ &=\sqrt{52}=2\sqrt{13} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案为 D。

Let $a=BC,$ $b=CA,$ and $c=AB.$ Since the right angle is at $C,$ $c^2=a^2+b^2.$ The median formulas give $\begin{aligned} 4(7^2) &=a^2+4b^2,\\ 4(4^2) &=4a^2+b^2. \end{aligned}$ Solving yields $a^2=4$ and $b^2=48.$ Therefore $\begin{aligned} AB=c &=\sqrt{a^2+b^2}\\ &=\sqrt{52}=2\sqrt{13}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

1958 AMC 12 第 43 题

答案：D

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 43 题