Question

若 $x$ 等于 $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}\text{，}$ 则：

If $x$ equals $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}},$ then:

$x=1$

$0\lt x\lt1$

$1\lt x\lt2$

$x$ 是无穷大

$x$ is infinite

$x\gt2$ ，但为有限值

$x\gt2$ but finite

第一层根号下又包含一个与 $x$ 相同的表达式

The expression under the first radical contains another copy of $x$

解方程 $x=\sqrt{1+x}$ ，并保留非负根

Solve $x=\sqrt{1+x}$ and keep the nonnegative root

由无限重复的尾部可得 $x=\sqrt{1+x}$ ，所以 $x^2-x-1=0\text{。}$ 因为 $x\ge0$ ，所以 $x=\frac{1+\sqrt5}{2}$ ，该值严格位于 $1$ 与 $2$ 之间。

因此，正确答案是 C。

The repeating tail gives $x=\sqrt{1+x},$ so $x^2-x-1=0.$ Since $x\ge0,$ $x=\frac{1+\sqrt5}{2},$ which lies strictly between $1$ and $2.$

Thus, the correct answer is C.