Question

El valor mínimo de la función $ax^2+bx+c$ , con $a>0,$ es:

The least value of the function $ax^2+bx+c$ with $a>0$ is:

$-\dfrac ba$

$-\dfrac{b}{2a}$

$b^2-4ac$

$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$

Ninguno de estos

None of these

Respuesta: D

Conceptos:completar el cuadrado cuadrática optimización

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Completa el cuadrado en $ax^2+bx+c$

Complete the square in $ax^2+bx+c$

Pista grande:

Como $a>0,$ el término cuadrado alcanza su mínimo cuando es igual a cero

Since $a>0,$ the squared term is minimized when it equals zero

Solución:

Al completar el cuadrado se obtiene $\begin{aligned} ax^2+bx+c &=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\\ &\quad+c-\frac{b^2}{4a}. \end{aligned}$ Como $a>0,$ el término cuadrado tiene mínimo $0.$ Así, el valor mínimo es $c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Completing the square gives $\begin{aligned} ax^2+bx+c &=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\\ &\quad+c-\frac{b^2}{4a}. \end{aligned}$ Because $a>0,$ the squared term has minimum $0.$ The least value is therefore $c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}.$

Thus, the correct answer is D.

1950 AMC 12 Problema 41

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 41 en otros años