Question

$\overline{AB}$ es la hipotenusa del triángulo rectángulo $ABC.$ Las medianas son $AD=7$ y $BE=4.$ La longitud de $AB$ es:

$\overline{AB}$ is the hypotenuse of a right triangle $ABC.$ Median $AD=7$ and median $BE=4.$ The length of $AB$ is:

$10$

$5\sqrt3$

$5\sqrt2$

$2\sqrt{13}$

$2\sqrt{15}$

Respuesta: D

Conceptos:mediana (geometría)Teorema de Stewart Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Sean $u$ y $v$ los cuadrados de los catetos opuestos a $A$ y $B$

Let the legs opposite $A$ and $B$ have squared lengths $u$ and $v$

Pista grande:

Usa las dos fórmulas de medianas y la relación pitagórica

Use the two median formulas together with the Pythagorean relation for the hypotenuse

Solución:

Sean $a=BC,$ $b=CA$ y $c=AB.$ Como el ángulo recto está en $C,$ $c^2=a^2+b^2.$ Las fórmulas de medianas dan $\begin{aligned} 4(7^2) &=a^2+4b^2,\\ 4(4^2) &=4a^2+b^2. \end{aligned}$ Al resolver, $a^2=4$ y $b^2=48.$ Por tanto, $\begin{aligned} AB=c &=\sqrt{a^2+b^2}\\ &=\sqrt{52}=2\sqrt{13}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $a=BC,$ $b=CA,$ and $c=AB.$ Since the right angle is at $C,$ $c^2=a^2+b^2.$ The median formulas give $\begin{aligned} 4(7^2) &=a^2+4b^2,\\ 4(4^2) &=4a^2+b^2. \end{aligned}$ Solving yields $a^2=4$ and $b^2=48.$ Therefore $\begin{aligned} AB=c &=\sqrt{a^2+b^2}\\ &=\sqrt{52}=2\sqrt{13}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

1958 AMC 12 Problema 43

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 43 en otros años