Question

Si la suma $1+2+3+\cdots+K$ es un cuadrado perfecto $N^2$ y $N$ es menor que $100,$ entonces los valores posibles de $K$ son:

If the sum $1+2+3+\cdots+K$ is a perfect square $N^2$ and if $N$ is less than $100,$ then the possible values for $K$ are:

solo $1$

only $1$

$1$ y $8$

$1$ and $8$

solo $8$

only $8$

$8$ y $49$

$8$ and $49$

$1,$ $8,$ y $49$

$1,$ $8,$ and $49$

Respuesta: E

Conceptos:triangular square numbers Pell equation recurrence

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Reescribe $\frac{K(K+1)}{2}=N^2$ como $(2K+1)^2-8N^2=1$

Rewrite $\frac{K(K+1)}{2}=N^2$ as $(2K+1)^2-8N^2=1$

Pista grande:

Genera soluciones positivas sucesivas multiplicando $(2K+1)+N\sqrt8$ por $3+\sqrt8,$ y detente cuando $N\ge100$

Generate successive positive solutions by multiplying $(2K+1)+N\sqrt8$ by $3+\sqrt8,$ stopping when $N\ge100$

Solución:

La condición es $\frac{K(K+1)}2=N^2,$ o bien $(2K+1)^2-8N^2=1.$ Las soluciones positivas de esta ecuación de Pell se generan a partir de la solución fundamental $3+\sqrt8.$ Sus primeros pares $(2K+1,N)$ son $\begin{aligned} &(3,1),\ (17,6),\\ &(99,35),\ (577,204),\ldots \end{aligned}$ Por tanto, los valores con $N\lt100$ son $K=1,8,49.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The condition is $\frac{K(K+1)}2=N^2,$ or $(2K+1)^2-8N^2=1.$ The positive solutions of this Pell equation are generated from the fundamental solution $3+\sqrt8.$ Their first pairs $(2K+1,N)$ are $\begin{aligned} &(3,1),\ (17,6),\\ &(99,35),\ (577,204),\ldots \end{aligned}$ Thus the values with $N\lt100$ are $K=1,8,49.$

Therefore, the correct answer is E.

1956 AMC 12 Problema 36

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 36 en otros años