Question

La base de un triángulo mide $80,$ y uno de los ángulos de la base mide $60^\circ.$ La suma de las longitudes de los otros dos lados es $90.$ El lado más corto mide:

The base of a triangle is $80,$ and one of the base angles is $60^\circ.$ The sum of the lengths of the other two sides is $90.$ The shortest side is:

$45$

$40$

$36$

$17$

$12$

Respuesta: D

Conceptos:ley de los cosenos manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Sea $x$ el lado adyacente al ángulo de $60^\circ$ , de modo que el tercer lado es $90-x$

Let the side adjacent to the $60^\circ$ angle be $x$ , so the third side is $90-x$

Pista grande:

Aplica la ley de cosenos a los lados adyacentes $80$ y $x$

Apply the law of cosines with included sides $80$ and $x$

Solución:

Denotemos la longitud del lado adyacente al ángulo de la base de $60^\circ$ por $x,$ y la del lado opuesto por $90-x.$ La ley de cosenos da $\begin{aligned} (90-x)^2 &=80^2+x^2\\ &\quad{}-2(80)(x)\cos60^\circ. \end{aligned}$ Al simplificar se obtiene $8100-180x=6400-80x,$ así que $x=17.$ Las longitudes de los lados son $17,\ 73,$ y $80,$ y la menor es $17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the side adjacent to the $60^\circ$ base angle be $x,$ and let the opposite side be $90-x.$ The law of cosines gives $\begin{aligned} (90-x)^2 &=80^2+x^2\\ &\quad{}-2(80)(x)\cos60^\circ. \end{aligned}$ Simplifying yields $8100-180x=6400-80x,$ so $x=17.$ The side lengths are $17,\ 73,$ and $80,$ and the shortest is $17.$

Thus, the correct answer is D.

1959 AMC 12 Problema 36

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 36 en otros años