Question

En esta figura, el radio del círculo es igual a la altura del triángulo equilátero $ABC.$ Se hace rodar el círculo a lo largo del lado $AB,$ manteniéndolo tangente a este en un punto variable $T$ y haciendo que corte las rectas $AC$ y $BC$ en los puntos variables $M$ y $N,$ respectivamente. Sea $n$ el número de grados del arco $MTN.$ Entonces, para todas las posiciones permitidas del círculo, $n$ :

In this figure the radius of the circle is equal to the altitude of the equilateral triangle $ABC.$ The circle is made to roll along the side $AB,$ remaining tangent to it at a variable point $T$ and intersecting lines $AC$ and $BC$ in variable points $M$ and $N,$ respectively. Let $n$ be the number of degrees in arc $MTN.$ Then $n,$ for all permissible positions of the circle:

varía de $30^\circ$ a $90^\circ$

varies from $30^\circ$ to $90^\circ$

varía de $30^\circ$ a $60^\circ$

varies from $30^\circ$ to $60^\circ$

varía de $60^\circ$ a $90^\circ$

varies from $60^\circ$ to $90^\circ$

permanece constante en $30^\circ$

remains constant at $30^\circ$

permanece constante en $60^\circ$

remains constant at $60^\circ$

Respuesta: E

Conceptos:círculo geometría analítica triángulo equilátero ángulo inscrito arco

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

El centro $O$ del círculo y el vértice $C$ están a la misma distancia de $AB$ , así que $CO\parallel AB$

The circle’s center $O$ and vertex $C$ are the same distance above $AB$ , so $CO\parallel AB$

Pista grande:

Prolonga $NC$ más allá de $C$ hasta que vuelva a cortar el círculo en $D$ , y luego usa la reflexión respecto de la recta $CO$

Extend $NC$ through $C$ to meet the circle again at $D$ , then use reflection across line $CO$

Solución:

Sea $O$ el centro del círculo. Tanto $O$ como $C$ están a una distancia de $AB,$ igual a la altura del triángulo, así que $CO\parallel AB.$ Prolonga $NC$ más allá de $C$ hasta que vuelva a cortar el círculo en $D.$ Como $CD$ tiene dirección opuesta a $CN,$ $\begin{aligned} \angle MCD &=180^\circ-\angle MCN\\ &=120^\circ. \end{aligned}$ La recta $CO,$ paralela a $AB,$ biseca este ángulo. La reflexión respecto de $CO$ deja fijo el círculo e intercambia los rayos $CM$ y $CD,$ por lo que intercambia $M$ y $D.$ Por tanto, $CM=CD,$ y el triángulo isósceles $MCD$ tiene ángulos de la base de $30^\circ.$

Como $D,C,N$ son colineales, $\angle MDN=30^\circ.$ Este ángulo inscrito subtiende el arco $MTN,$ cuya medida es, por tanto, $60^\circ$ para toda posición permitida del círculo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $O$ be the circle’s center. Both $O$ and $C$ are one triangle altitude above $AB,$ so $CO\parallel AB.$ Extend $NC$ through $C$ to meet the circle again at $D.$ Since $CD$ is opposite to $CN,$ $\begin{aligned} \angle MCD &=180^\circ-\angle MCN\\ &=120^\circ. \end{aligned}$ The line $CO,$ parallel to $AB,$ bisects this angle. Reflection across $CO$ fixes the circle and interchanges rays $CM$ and $CD,$ so it interchanges $M$ and $D.$ Hence $CM=CD,$ and isosceles triangle $MCD$ has base angles $30^\circ.$

Because $D,C,N$ are collinear, $\angle MDN=30^\circ.$ This inscribed angle subtends arc $MTN,$ whose measure is therefore $60^\circ$ for every permissible circle position.

Thus, the correct answer is E.

1964 AMC 12 Problema 36

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 36 en otros años