Question

En el triángulo $ABC$ , la mediana desde $A$ es perpendicular a la mediana desde $B.$ Si $BC=7$ y $AC=6,$ halla $AB.$

In triangle $ABC$ the median from $A$ is perpendicular to the median from $B.$ If $BC=7$ and $AC=6,$ find the length of $AB.$

$4$

$\sqrt{17}$

$4.25$

$2\sqrt5$

$4.5$

Respuesta: B

Conceptos:mediana (geometría)vector geometría analítica

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Coloca $A$ en el origen y representa $B$ y $C$ mediante vectores

Put $A$ at the origin and represent $B$ and $C$ by vectors

Pista grande:

Escribe vectores directores de las medianas e iguala su producto escalar a cero

Write direction vectors for the two medians and set their dot product to zero

Solución:

Sean $A=\mathbf0,$ $B=\mathbf b,$ y $C=\mathbf c,$ con $|\mathbf b|=\ell,$ $|\mathbf c|=6,$ y $|\mathbf c-\mathbf b|=7.$ Las direcciones son $\frac{\mathbf b+\mathbf c}{2}$ desde $A$ y $\frac{\mathbf c}{2}-\mathbf b$ desde $B.$ Su producto escalar es cero, así que $(\mathbf b+\mathbf c)\mathbin{\cdot}(\mathbf c-2\mathbf b)=0.$ Usando $\mathbf b\mathbin{\cdot}\mathbf c=\frac{\ell^2+36-49}{2},$ se obtiene $\ell^2=17.$ Por tanto, $AB=\sqrt{17}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $A=\mathbf0,$ $B=\mathbf b,$ and $C=\mathbf c,$ with $|\mathbf b|=\ell,$ $|\mathbf c|=6,$ and $|\mathbf c-\mathbf b|=7.$ The median directions are $\frac{\mathbf b+\mathbf c}{2}$ from $A$ and $\frac{\mathbf c}{2}-\mathbf b$ from $B.$ Their dot product is zero, so $(\mathbf b+\mathbf c)\mathbin{\cdot}(\mathbf c-2\mathbf b)=0.$ Using $\mathbf b\mathbin{\cdot}\mathbf c=\frac{\ell^2+36-49}{2},$ this simplifies to $\ell^2=17.$ Hence $AB=\sqrt{17}.$

Therefore, the correct answer is B.

1961 AMC 12 Problema 36

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 36 en otros años