Question

Si $x$ e $y$ son enteros, ¿cuántos pares de soluciones tiene la ecuación $(x-8)(x-10)=2^y$ ?

If both $x$ and $y$ are integers, how many solutions are there to the equation $(x-8)(x-10)=2^y?$

$0$

$1$

$2$

$3$

más de $3$

more than $3$

Respuesta: C

Conceptos:Ecuación diofántica potencia de 2 diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Reescribe el lado izquierdo como $(x-9)^2-1$

Rewrite the left side as $(x-9)^2-1$

Pista grande:

Si $n=x-9,$ los factores pares consecutivos $n-1$ y $n+1$ deben ser ambos potencias de $2$

If $n=x-9,$ then the consecutive even factors $n-1$ and $n+1$ must both be powers of $2$

Solución:

Sea $n=x-9.$ Entonces $2^y=n^2-1=(n-1)(n+1).$ Como el producto es una potencia de $2,$ ninguno de los factores puede tener un divisor primo impar. Los únicos enteros pares consecutivos que difieren en $2$ y que son potencias con signo de $2$ son $(-4,-2)$ y $(2,4).$ Por tanto, $n=\pm3$ y $y=3,$ lo que da $x=6$ o $12.$ Hay $2$ pares ordenados $(x,y).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Put $n=x-9.$ Then $2^y=n^2-1=(n-1)(n+1).$ Since the product is a power of $2,$ both factors must have no odd prime divisor. The only consecutive even integers differing by $2$ that are both signed powers of $2$ are $(-4,-2)$ and $(2,4).$ Thus $n=\pm3$ and $y=3,$ giving $x=6$ or $12.$ There are $2$ ordered pairs $(x,y).$

Therefore, the correct answer is C.

1962 AMC 12 Problema 36

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 36 en otros años