Question

在锐角三角形 $ABC$ 中， $\angle A$ 的角平分线与边 $BC$ 交于 $D$ 。以 $B$ 为圆心、 $BD$ 为半径的圆与边 $AB$ 交于 $M$ ；以 $C$ 为圆心、 $CD$ 为半径的圆与边 $AC$ 交于 $N$ 。则恒有

In acute triangle $ABC$ the bisector of $\angle A$ meets side $BC$ at $D.$ The circle with center $B$ and radius $BD$ intersects side $AB$ at $M;$ and the circle with center $C$ and radius $CD$ intersects side $AC$ at $N.$ Then it is always true that

$\begin{aligned}\angle CND+\angle BMD\\{}-\angle DAC=120^\circ\end{aligned}$

$AMDN$ 是梯形

$AMDN$ is a trapezoid

$BC$ 平行于 $MN$

$BC$ is parallel to $MN$

$AM-AN=\frac{3(DB-DC)}2$

$AB-AC=\frac{3(DB-DC)}2$

答案：C

知识点：角平分线定理比与比例平行线

难度评级：1770

小提示：

利用 $BM=BD,\ CN=CD$ 及角平分线定理

Use $BM=BD,\ CN=CD,$ and the angle bisector theorem

大提示：

证明 $\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}$ ，再应用三角形一边平行线判定定理

Show that $\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}$ and apply the converse of the side-splitter theorem

解答：

由角平分线定理， $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\text{。}$ 因为 $BM=BD$ 且 $CN=CD$ ，所以 $\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}$ 。因此， $M$ 与 $N$ 在 $AB$ 与 $AC$ 上分别从 $B$ 与 $C$ 两端按相同比例分割，由三角形一边平行线判定定理可得 $MN\parallel BC$ 。

因此，正确答案是 C。

The angle bisector theorem gives $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}.$ Since $BM=BD$ and $CN=CD,$ we have $\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}.$ Therefore $M$ and $N$ divide $AB$ and $AC$ proportionally from $B$ and $C,$ so the converse of the side-splitter theorem gives $MN\parallel BC.$

Therefore, the correct answer is C.

1975 AMC 12 第 26 题

答案：C

难度评级：1770

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题