Question

点 $C$ 将直线段 $AB$ 分割，使得 $\overline{AC}=3\overline{CB}$ 。分别以 $\overline{AC}$ 和 $\overline{CB}$ 为直径作圆，两圆的一条公切线与 $\overline{AB}$ 的延长线交于 $D$ 。则 $\overline{BD}$ 等于：

The straight line $AB$ is divided at $C$ so that $\overline{AC}=3\overline{CB}.$ Circles are described on $\overline{AC}$ and $\overline{CB}$ as diameters and a common tangent meets $\overline{AB}$ produced at $D.$ Then $\overline{BD}$ equals:

较小圆的直径

the diameter of the smaller circle

较小圆的半径

the radius of the smaller circle

较大圆的半径

the radius of the larger circle

$\overline{CB}\sqrt3$

两圆半径之差

the difference of the two radii

答案：B

知识点：相切圆切线位似

难度评级：1700

小提示：

点 $D$ 是两圆的外位似中心

The point $D$ is the external center of similitude of the two circles

大提示：

设 $\overline{CB}=u$ ，并按 $3:1$ 比较 $D$ 到两圆心的距离

Let $\overline{CB}=u$ and compare the distances from $D$ to the two centers in the ratio $3:1$

解答：

设 $\overline{CB}=u$ ，则 $\overline{AC}=3u$ ，且 $\overline{AB}=4u$ 。从 $A$ 起量，两圆心的位置分别为 $\frac{3u}{2}$ 和 $\frac{7u}{2}$ ，两半径之比为 $3:1$ 。若 $AD=z$ ，公切线使 $D$ 成为两圆的外位似中心，所以 $\frac{z-\frac32u}{z-\frac72u}=3\text{。}$ 因此 $z=\frac{9u}{2}$ ，且 $BD=z-4u=\frac u2\text{，}$ 这正是较小圆的半径。

因此，正确答案是 B。

Let $\overline{CB}=u,$ so $\overline{AC}=3u$ and $\overline{AB}=4u.$ Measured from $A,$ the circle centers are at $\frac{3u}{2}$ and $\frac{7u}{2},$ and their radii are in the ratio $3:1.$ If $AD=z,$ the common external tangent makes $D$ the external center of similitude, so $\frac{z-\frac32u}{z-\frac72u}=3.$ Hence $z=\frac{9u}{2},$ and $BD=z-4u=\frac u2,$ which is the radius of the smaller circle.

Thus, the correct answer is B.

1954 AMC 12 第 26 题

答案：B

难度评级：1700

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题