Question

La razón entre los ángulos interiores de dos polígonos regulares con lados de longitud unitaria es $3:2.$ ¿Cuántos pares de este tipo hay?

The ratio of the interior angles of two regular polygons with sides of unit length is $3:2.$ How many such pairs are there?

$1$

$2$

$3$

$4$

infinitos

infinitely many

Respuesta: C

Conceptos:polígono regular suma de ángulos Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Para un polígono de $n$ lados, un ángulo interior mide $\frac{180^\circ(n-2)}{n}$

For an $n$ -gon, an interior angle is $\frac{180^\circ(n-2)}{n}$

Pista grande:

Si el polígono menor tiene $n$ lados, despeja el número de lados del mayor y prueba los enteros posibles $3\le n\lt6$

If the smaller polygon has $n$ sides, solve for the larger side count and test the possible integers $3\le n\lt6$

Solución:

Sean $n$ y $N$ los números de lados de los polígonos menor y mayor. Entonces $\frac{\frac{N-2}{N}}{\frac{n-2}{n}}=\frac32,$ de donde $N=\frac{4n}{6-n}.$ La positividad y $N\gt n$ exigen $n=3,$ $n=4,$ o $n=5.$ Estos valores dan $N=4,$ $N=8,$ y $N=20,$ respectivamente. Por tanto, hay $3$ pares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the smaller and larger polygons have $n$ and $N$ sides. Then $\frac{\frac{N-2}{N}}{\frac{n-2}{n}}=\frac32,$ which gives $N=\frac{4n}{6-n}.$ Positivity and $N\gt n$ require $n=3,$ $n=4,$ or $n=5.$ These give $N=4,$ $N=8,$ and $N=20,$ respectively. Thus there are $3$ pairs.

Therefore, the correct answer is C.

1962 AMC 12 Problema 31

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 31 en otros años