Question

El volumen de una pirámide cuya base es un triángulo equilátero de lado $6$ y cuyas demás aristas miden $\sqrt{15}$ es

The volume of a pyramid whose base is an equilateral triangle of side length $6$ and whose other edges are each of length $\sqrt{15}$ is

$9$

$\dfrac92$

$\dfrac{27}{2}$

$\dfrac{9\sqrt3}{2}$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A

Conceptos:pirámide triángulo equilátero volumen Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

La altura desde el vértice corta la base en el circuncentro del triángulo equilátero

The altitude from the apex meets the base at the equilateral triangle’s circumcenter

Pista grande:

Usa el circunradio de la base $2\sqrt3$ y una arista lateral $\sqrt{15}$ para hallar la altura

Use the base circumradius $2\sqrt3$ and a lateral edge $\sqrt{15}$ to find the height

Solución:

El área de la base es $\frac{\sqrt3}{4}(6^2)=9\sqrt3.$ Como el vértice está a la misma distancia de los tres vértices de la base, su proyección perpendicular es el circuncentro de la base. El circunradio de la base equilátera es $\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3.$ Si $h$ es la altura de la pirámide, entonces $h^2+(2\sqrt3)^2=(\sqrt{15})^2,$ así que $h=\sqrt3.$ El volumen es $\frac13(9\sqrt3)(\sqrt3)=9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The base area is $\frac{\sqrt3}{4}(6^2)=9\sqrt3.$ Because the apex is equally distant from all three base vertices, its perpendicular projection is the base circumcenter. The circumradius of the equilateral base is $\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3.$ If $h$ is the pyramid’s height, then $h^2+(2\sqrt3)^2=(\sqrt{15})^2,$ so $h=\sqrt3.$ The volume is $\frac13(9\sqrt3)(\sqrt3)=9.$

Therefore, the correct answer is A.

1973 AMC 12 Problema 32

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 32 en otros años