Question

Las cuerdas $AB$ y $CD$ del círculo mostrado se cortan perpendicularmente en $E$ . Si los segmentos $AE,$ $EB,$ y $ED$ miden $2,$ $6,$ y $3$ , respectivamente, entonces el diámetro del círculo mide:

Chords $AB$ and $CD$ in the circle shown intersect at $E$ and are perpendicular to each other. If segments $AE,$ $EB,$ and $ED$ have measures $2,$ $6,$ and $3$ respectively, then the length of the diameter of the circle is:

$4\sqrt5$

$\sqrt{65}$

$2\sqrt{17}$

$3\sqrt7$

$6\sqrt2$

Respuesta: B

Conceptos:potencia de un punto geometría analítica fórmula de la distancia círculo

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Usa primero $AE\cdot EB=CE\cdot ED$

First use $AE\cdot EB=CE\cdot ED$

Pista grande:

Sitúa $E$ en el origen; el centro está en la intersección de las mediatrices de las dos cuerdas

Place $E$ at the origin; the center is at the intersection of the two chord perpendicular bisectors

Solución:

El teorema de las cuerdas que se cortan da $2\cdot6=CE\cdot3,$ por lo que $CE=4.$ Sitúa $E=(0,0),$ $A=(-2,0),$ $B=(6,0),$ $C=(0,4),$ y $D=(0,-3).$ Las mediatrices de $AB$ y $CD$ se cortan en $O=\left(2,\frac12\right).$ Así, $r^2=OA^2=4^2+\left(\frac12\right)^2=\frac{65}{4},$ y el diámetro es $2r=\sqrt{65}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The intersecting-chords theorem gives $2\cdot6=CE\cdot3,$ so $CE=4.$ Put $E=(0,0),$ $A=(-2,0),$ $B=(6,0),$ $C=(0,4),$ and $D=(0,-3).$ The perpendicular bisectors of $AB$ and $CD$ meet at $O=\left(2,\frac12\right).$ Thus $r^2=OA^2=4^2+\left(\frac12\right)^2=\frac{65}{4},$ and the diameter is $2r=\sqrt{65}.$

Therefore, the correct answer is B.

1972 AMC 12 Problema 32

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 32 en otros años