Question

Las dimensiones de un rectángulo $R$ son $a$ y $b,$ con $a\lt b.$ Se quiere obtener un rectángulo de dimensiones $x$ y $y,$ con $x\lt a,$ $y\lt a,$ de modo que su perímetro sea un tercio del de $R,$ y su área sea un tercio de la de $R.$ El número de rectángulos distintos de este tipo es:

The dimensions of a rectangle $R$ are $a$ and $b,$ $a\lt b.$ It is required to obtain a rectangle with dimensions $x$ and $y,$ $x\lt a,$ $y\lt a,$ so that its perimeter is one-third that of $R,$ and its area is one-third that of $R.$ The number of such (different) rectangles is:

$0$

$1$

$2$

$4$

infinitos

infinitely many

Respuesta: A

Conceptos:rectángulo desigualdad manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Traduce las condiciones en $3(x+y)=a+b$ y $3xy=ab$

Translate the conditions into $3(x+y)=a+b$ and $3xy=ab$

Pista grande:

Divide la ecuación de la suma entre la del producto y compara recíprocos usando $x\lt a,$ $y\lt a,$ y $a\lt b$

Divide the sum equation by the product equation and compare reciprocals using $x\lt a,$ $y\lt a,$ and $a\lt b$

Solución:

Las condiciones dan $3(x+y)=a+b$ y $3xy=ab.$ Al dividir se obtiene $\frac1x+\frac1y=\frac1a+\frac1b.$ Pero $x\lt a$ y $y\lt a$ hacen que el lado izquierdo sea mayor que $\frac{2}{a},$ mientras que $a\lt b$ hace que el derecho sea menor que $\frac{2}{a}.$ Esto es imposible.

Así, la respuesta correcta es A.

The conditions give $3(x+y)=a+b$ and $3xy=ab.$ Dividing yields $\frac1x+\frac1y=\frac1a+\frac1b.$ But $x\lt a$ and $y\lt a$ make the left side greater than $\frac{2}{a},$ while $a\lt b$ makes the right side less than $\frac{2}{a}.$ This is impossible.

Thus, the correct answer is A.

1963 AMC 12 Problema 32

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 32 en otros años