Question

$A$ y $B$ recorren una pista circular a velocidades uniformes en direcciones opuestas, partiendo de puntos diametralmente opuestos. Si comienzan al mismo tiempo, se encuentran por primera vez después de que $B$ ha recorrido $100$ yardas y se encuentran por segunda vez cuando a $A$ le faltan $60$ yardas para completar una vuelta, entonces la circunferencia de la pista en yardas es:

$A$ and $B$ travel around a circular track at uniform speeds in opposite directions, starting from diametrically opposite points. If they start at the same time, meet first after $B$ has travelled $100$ yards, and meet a second time $60$ yards before $A$ completes one lap, then the circumference of the track in yards is:

$400$

$440$

$480$

$560$

$880$

Respuesta: C

Conceptos:velocidad relativa circunferencia razón y proporción sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Sea $2C$ la circunferencia y compara las razones entre las distancias recorridas por los dos corredores en cada encuentro

Let the circumference be $2C$ and compare the two runners’ traveled-distance ratios at each meeting

Pista grande:

En el primer encuentro sus distancias son $C-100$ y $100$ ; en el segundo son $2C-60$ y $C+60$

At the first meeting their distances are $C-100$ and $100$ ; at the second they are $2C-60$ and $C+60$

Solución:

Sea $2C$ la circunferencia. En el primer encuentro, $B$ ha recorrido $100$ yardas y $A$ ha recorrido $C-100,$ por lo que la razón entre sus velocidades es $\frac{v_A}{v_B}=\frac{C-100}{100}.$ En el segundo encuentro, a $A$ le faltan $60$ yardas para completar una vuelta, así que ha recorrido $2C-60.$ Para entonces, la distancia combinada que han recorrido es $3C,$ de modo que $B$ ha recorrido $C+60.$ Por tanto, $\frac{C-100}{100}=\frac{2C-60}{C+60}.$ Al multiplicar en cruz obtenemos $C=240,$ así que la circunferencia es $2C=480$ yardas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the circumference be $2C.$ At the first meeting, $B$ has traveled $100$ yards and $A$ has traveled $C-100,$ so their speed ratio is $\frac{v_A}{v_B}=\frac{C-100}{100}.$ At the second meeting, $A$ is $60$ yards short of one lap, so it has traveled $2C-60.$ By then their combined distance is $3C,$ so $B$ has traveled $C+60.$ Hence $\frac{C-100}{100}=\frac{2C-60}{C+60}.$ Cross-multiplying gives $C=240,$ so the circumference is $2C=480$ yards.

Therefore, the correct answer is C.

1970 AMC 12 Problema 32

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 32 en otros años