Question

En este diagrama se construyen semicírculos sobre los diámetros $AB,$ $AC,$ y $CB,$ de modo que sean mutuamente tangentes. Si $CD\perp AB,$ entonces la razón entre el área sombreada y el área de un círculo de radio $CD$ es:

In this diagram semi-circles are constructed on diameters $AB,$ $AC,$ and $CB,$ so that they are mutually tangent. If $CD\perp AB,$ then the ratio of the shaded area to the area of a circle with $CD$ as radius is:

$1:2$

$1:3$

$\sqrt3:7$

$1:4$

$\sqrt2:6$

Respuesta: D

Conceptos:área del círculo triángulo rectángulo razón de áreas

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Resta del área del semicírculo grande las áreas de los dos pequeños

Subtract the two small semicircle areas from the large one

Pista grande:

En el triángulo rectángulo $ADB,$ el teorema de la altura da $CD^2=AC\cdot CB$

In right triangle $ADB,$ the altitude theorem gives $CD^2=AC\cdot CB$

Solución:

Sean $AC=u$ y $CB=v.$ El área sombreada es la del semicírculo grande menos las de los dos pequeños: $\frac{\pi}{8}\bigl((u+v)^2-u^2-v^2\bigr) =\frac{\pi uv}{4}.$ Como $D$ está en el semicírculo de diámetro $AB,$ el triángulo $ADB$ es rectángulo y su altura satisface $CD^2=uv.$ Por lo tanto, un círculo de radio $CD$ tiene área $\pi uv.$ La razón pedida es $1:4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $AC=u$ and $CB=v.$ The shaded area is the large semicircle minus the two smaller ones: $\frac{\pi}{8}\bigl((u+v)^2-u^2-v^2\bigr) =\frac{\pi uv}{4}.$ Since $D$ lies on the semicircle with diameter $AB,$ triangle $ADB$ is right, and its altitude satisfies $CD^2=uv.$ A circle of radius $CD$ therefore has area $\pi uv.$ The required ratio is $1:4.$

Therefore, the correct answer is D.

1967 AMC 12 Problema 33

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 33 en otros años