Question

Una progresión armónica es una sucesión de números cuyos recíprocos están en progresión aritmética. Sea $S_n$ la suma de los primeros $n$ términos de la progresión armónica; por ejemplo, $S_3$ representa la suma de los tres primeros términos. Si los tres primeros términos de una progresión armónica son $3,$ $4,$ $6,$ entonces:

A harmonic progression is a sequence of numbers such that their reciprocals are in arithmetic progression. Let $S_n$ represent the sum of the first $n$ terms of the harmonic progression; for example, $S_3$ represents the sum of the first three terms. If the first three terms of a harmonic progression are $3,$ $4,$ $6,$ then:

$S_4=20$

$S_4=25$

$S_5=49$

$S_6=49$

$S_2=\dfrac12S_4$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Escribe los recíprocos $\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{6}$ e identifica su diferencia común

Write the reciprocals $\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{6}$ and identify their common difference

Pista grande:

Prolonga un término más la progresión aritmética de los recíprocos

Continue the arithmetic progression of reciprocals one more term

Solución:

Los recíprocos comienzan $\frac13,\quad\frac14,\quad\frac16,$ con diferencia común $-\frac{1}{12}.$ El siguiente recíproco es $\frac{1}{12},$ así que el cuarto término es $12.$ Por lo tanto, $S_4=3+4+6+12=25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The reciprocals begin $\frac13,\quad\frac14,\quad\frac16,$ with common difference $-\frac{1}{12}.$ The next reciprocal is $\frac{1}{12},$ so the fourth term is $12.$ Therefore $S_4=3+4+6+12=25.$

Thus, the correct answer is B.

1959 AMC 12 Problema 33

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 33 en otros años