Question

El número de soluciones de $2^{2x}-3^{2y}=55,$ donde $x$ y $y$ son enteros, es:

The number of solutions of $2^{2x}-3^{2y}=55,$ in which $x$ and $y$ are integers, is:

$0$

$1$

$2$

$3$

más de tres, pero finito

more than three, but finite

Respuesta: B

Conceptos:diferencia de cuadrados Ecuación diofántica factor

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Factoriza el lado izquierdo como diferencia de cuadrados

Factor the left side as a difference of squares

Pista grande:

Los dos factores positivos tienen producto $55$ y la misma paridad

The two positive factors multiply to $55$ and have the same parity

Solución:

Factorizando, $(2^x-3^y)(2^x+3^y)=55.$ Primero, $x>0.$ Si $y\le0,$ entonces $55<4^x\le56,$ lo cual es imposible para una potencia entera de $4.$ Por tanto, $y>0,$ y ambos factores son enteros impares positivos. El par de factores $5,$ $11$ da $2^{x+1}=16$ y $2\cdot3^y=6,$ por lo que $(x,y)=(3,1).$ El par de factores $1,$ $55$ exigiría $2^x=28,$ imposible. Hay una sola solución.

Así, la respuesta correcta es B.

Factor: $(2^x-3^y)(2^x+3^y)=55.$ First, $x>0.$ If $y\le0,$ then $55<4^x\le56,$ which is impossible for an integral power of $4.$ Hence $y>0,$ so both factors are positive odd integers. The factor pair $5,$ $11$ gives $2^{x+1}=16$ and $2\cdot3^y=6,$ so $(x,y)=(3,1).$ The factor pair $1,$ $55$ would require $2^x=28,$ impossible. Hence there is exactly one solution.

Thus, the correct answer is B.

1961 AMC 12 Problema 33

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 33 en otros años