Question

Sea $S$ el conjunto de valores de $\frac{2x+3}{x+2}$ cuando $x$ pertenece al intervalo $x\ge0.$ Sea $M$ la mínima cota superior de $S,$ y sea $m$ la máxima cota inferior de $S.$ Podemos afirmar:

Let $S$ be the set of values assumed by the fraction $\frac{2x+3}{x+2}$ when $x$ is any member of the interval $x\ge0.$ Let $M$ be the least upper bound of $S,$ and let $m$ be the greatest lower bound of $S.$ We may then say:

$m$ está en $S,$ pero $M$ no está en $S$

$m$ is in $S,$ but $M$ is not in $S$

$M$ está en $S,$ pero $m$ no está en $S$

$M$ is in $S,$ but $m$ is not in $S$

tanto $m$ como $M$ están en $S$

both $m$ and $M$ are in $S$

ni $m$ ni $M$ están en $S$

neither $m$ nor $M$ is in $S$

$M$ no existe ni dentro ni fuera de $S$

$M$ does not exist either in or outside $S$

Respuesta: A

Conceptos:función desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Reescribe la fracción como $2-\frac1{x+2}$

Rewrite the fraction as $2-\frac1{x+2}$

Pista grande:

Evalúa el extremo inferior y examina el límite al crecer $x$

Evaluate the lower endpoint and examine the limit as $x$ increases

Solución:

Tenemos $\frac{2x+3}{x+2}=2-\frac1{x+2}.$ Para $x\ge0,$ crece desde $\frac{3}{2}$ hacia $2$ sin alcanzar $2$ . Así, $S=[\frac32,2),$ por lo que la máxima cota inferior $m=\frac{3}{2}$ pertenece a $S,$ pero la mínima cota superior $M=2$ no.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have $\frac{2x+3}{x+2}=2-\frac1{x+2}.$ For $x\ge0,$ this increases from $\frac{3}{2}$ toward $2$ without reaching $2.$ Thus $S=[\frac32,2),$ so its greatest lower bound $m=\frac{3}{2}$ belongs to $S,$ while its least upper bound $M=2$ does not.

Therefore, the correct answer is A.

1961 AMC 12 Problema 34

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 34 en otros años