Question

En el triángulo $ABC,$ el lado $a=\sqrt3,$ el lado $b=\sqrt3,$ y el lado $c\gt3.$ Sea $x$ el mayor número tal que la medida, en grados, del ángulo opuesto al lado $c$ supera a $x.$ Entonces $x$ es igual a:

In triangle $ABC,$ side $a=\sqrt3,$ side $b=\sqrt3,$ and side $c\gt3.$ Let $x$ be the largest number such that the magnitude, in degrees, of the angle opposite side $c$ exceeds $x.$ Then $x$ equals:

$150$

$120$

$105$

$90$

$60$

Respuesta: B

Conceptos:ley de los cosenos desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Usa la ley de los cosenos para el ángulo $C$ opuesto a $c$

Use the law of cosines for the angle $C$ opposite $c$

Pista grande:

Compara $c\gt3$ con el caso límite $c=3$

Compare $c\gt3$ with the limiting case $c=3$

Solución:

La ley de los cosenos da $\cos C=\frac{3+3-c^2}{2\sqrt3\sqrt3}=\frac{6-c^2}{6}.$ Como $c\gt3,$ se tiene $\cos C\lt-\frac{1}{2},$ así que $C\gt120^\circ.$ Los valores pueden acercarse a $120^\circ$ cuando $c$ se aproxima a $3$ por encima, por lo que la mayor cota garantizada es $120.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The law of cosines gives $\cos C=\frac{3+3-c^2}{2\sqrt3\sqrt3}=\frac{6-c^2}{6}.$ Since $c\gt3,$ $\cos C\lt-\frac{1}{2},$ so $C\gt120^\circ.$ Values can approach $120^\circ$ as $c$ approaches $3$ from above, so the largest guaranteed bound is $120.$

Therefore, the correct answer is B.

1963 AMC 12 Problema 34

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 34 en otros años