Question

En los lados $AB,$ $BC,$ y $CA$ del triángulo $ABC$ se toman respectivamente los puntos $D,$ $E,$ y $F$ , de modo que $AD:DB=1:n,$ $BE:CE=1:n,$ y $CF:FA=1:n.$ La razón entre el área del triángulo $DEF$ y la del triángulo $ABC$ es:

Points $D,$ $E,$ $F$ are taken respectively on sides $AB,$ $BC,$ and $CA$ of triangle $ABC$ so that $AD:DB=1:n,$ $BE:CE=1:n,$ and $CF:FA=1:n.$ The ratio of the area of triangle $DEF$ to that of triangle $ABC$ is:

$\dfrac{n^2-n+1}{(n+1)^2}$

$\dfrac1{(n+1)^2}$

$\dfrac{2n^3}{(n+1)^2}$

$\dfrac{n^3}{(n+1)^2}$

$\dfrac{n(n-1)}{n+1}$

Respuesta: A

Conceptos:área del triángulo descomposición de áreas razón y proporción

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Resta del triángulo $ABC$ los tres triángulos de las esquinas

Subtract the three corner triangles from triangle $ABC$

Pista grande:

Cada triángulo de una esquina tiene razón de áreas $\frac{n}{(n+1)^2}$

Each corner triangle has area ratio $\frac{n}{(n+1)^2}$

Solución:

En cada vértice, las fracciones de los dos lados adyacentes que usa el triángulo de la esquina son $\frac{1}{n+1}$ y $\frac{n}{n+1}.$ Así, el área de cada uno de esos triángulos es $\frac{n}{(n+1)^2}$ veces $[ABC].$ Por lo tanto, $\begin{aligned} \frac{[DEF]}{[ABC]} &=1-\frac{3n}{(n+1)^2}\\ &=\frac{n^2-n+1}{(n+1)^2}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

At each vertex, the two adjacent side fractions used by the corner triangle are $\frac{1}{n+1}$ and $\frac{n}{n+1}.$ Thus each corner triangle has area $\frac{n}{(n+1)^2}$ times $[ABC].$ Therefore $\begin{aligned} \frac{[DEF]}{[ABC]} &=1-\frac{3n}{(n+1)^2}\\ &=\frac{n^2-n+1}{(n+1)^2}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

1967 AMC 12 Problema 34

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 34 en otros años