Question

Si $P$ es el producto de $n$ cantidades en progresión geométrica, $S$ es su suma y $S'$ es la suma de sus recíprocos, entonces $P$ , en términos de $S,$ $S'$ y $n$ , es:

If $P$ is the product of $n$ quantities in geometric progression, $S$ their sum, and $S'$ the sum of their reciprocals, then $P$ in terms of $S,$ $S',$ and $n$ is:

$(SS')^{\frac{n}{2}}$

$(\frac{S}{S'})^{\frac{n}{2}}$

$(SS')^{n-2}$

$(\frac{S}{S'})^n$

$(\frac{S}{S'})^{\frac{n-1}{2}}$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión geométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Escribe la progresión como $a,ar,\ldots,ar^{n-1}$

Write the progression as $a,ar,\ldots,ar^{n-1}$

Pista grande:

Demuestra que $\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}$ , cuya potencia $\frac{n}{2}$ es el producto

Show that $\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}$ , whose $\frac{n}{2}$ power is the product

Solución:

Escribe los términos como $a,ar,\ldots,ar^{n-1}.$ Al invertir el orden de la suma de los recíprocos se obtiene $S'=\frac{S}{a^2r^{n-1}},$ de modo que $\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}.$ Por otra parte, $\begin{aligned} P&=a^nr^{\frac{n(n-1)}{2}}\\ &=\left(a^2r^{n-1}\right)^{\frac{n}{2}}\\ &=\left(\frac{S}{S'}\right)^{\frac{n}{2}}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write the terms as $a,ar,\ldots,ar^{n-1}.$ Reversing the reciprocal sum gives $S'=\frac{S}{a^2r^{n-1}},$ so $\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}.$ Meanwhile $\begin{aligned} P&=a^nr^{\frac{n(n-1)}{2}}\\ &=\left(a^2r^{n-1}\right)^{\frac{n}{2}}\\ &=\left(\frac{S}{S'}\right)^{\frac{n}{2}}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

1971 AMC 12 Problema 33

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 33 en otros años