Question

Se da una sucesión de $58$ términos; cada término tiene la forma $P+n$ , donde $P$ representa el producto $2\cdot3\cdot5\cdots61$ de todos los números primos menores o iguales que $61,$ y $n$ toma sucesivamente los valores $2,$ $3,$ $4,$ $\ldots,$ $59.$ Sea $N$ el número de primos que aparecen en esta sucesión. Entonces $N$ es:

You are given a sequence of $58$ terms; each term has the form $P+n$ where $P$ stands for the product $2\cdot3\cdot5\cdots61$ of all prime numbers less than or equal to $61,$ and $n$ takes, successively, the values $2,$ $3,$ $4,$ $\ldots,$ $59.$ Let $N$ be the number of primes appearing in this sequence. Then $N$ is:

$0$

$16$

$17$

$57$

$58$

Respuesta: A

Conceptos:primo divisibilidad factorización en primos

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Todo $n$ desde $2$ hasta $59$ tiene un divisor primo no mayor que $59$

Every $n$ from $2$ through $59$ has a prime divisor at most $59$

Pista grande:

Ese mismo divisor primo divide tanto a $P$ como a $n$

That same prime divisor divides both $P$ and $n$

Solución:

Para cada $n$ del intervalo dado, elige un divisor primo $p$ de $n.$ Como $p\le59,$ es uno de los factores de $P.$ Por tanto, $p$ divide a $P+n.$ Además, $P+n>p,$ así que $P+n$ es compuesto. Ningún término es primo y $N=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For each $n$ in the given range, choose a prime divisor $p$ of $n.$ Since $p\le59,$ it is one of the factors of $P.$ Therefore $p$ divides $P+n.$ Moreover $P+n>p,$ so $P+n$ is composite. No term is prime, and $N=0.$

Thus, the correct answer is A.

1960 AMC 12 Problema 33

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 33 en otros años