Question

En el triángulo rectángulo mostrado, la suma de las distancias $\overline{BM}$ y $\overline{MA}$ es igual a la suma de las distancias $\overline{BC}$ y $\overline{CA}.$ Si $\overline{MB}=x,$ $\overline{CB}=h,$ y $\overline{CA}=d,$ entonces $x$ es igual a:

In the right triangle shown the sum of the distances $\overline{BM}$ and $\overline{MA}$ is equal to the sum of the distances $\overline{BC}$ and $\overline{CA}.$ If $\overline{MB}=x,$ $\overline{CB}=h,$ and $\overline{CA}=d,$ then $x$ equals:

$\dfrac{hd}{2h+d}$

$d-h$

$\dfrac12d$

$h+d-\sqrt{2d}$

$\sqrt{h^2+d^2}-h$

Respuesta: A

Conceptos:triángulo rectángulo Teorema de Pitágoras radical

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Usa el teorema de Pitágoras para expresar $\overline{MA}$ en términos de $d,h,x$

Use the Pythagorean theorem to express $\overline{MA}$ in terms of $d,h,x$

Pista grande:

A partir de $x+\sqrt{d^2+(h+x)^2}=h+d,$ aísla el radical y eleva al cuadrado

From $x+\sqrt{d^2+(h+x)^2}=h+d,$ isolate the radical and square

Solución:

La condición y el teorema de Pitágoras dan $x+\sqrt{d^2+(h+x)^2}=h+d.$ Después de aislar el radical y elevar al cuadrado, $d^2+(h+x)^2=(h+d-x)^2.$ Al cancelar los términos comunes queda $4hx+2dx=2hd,$ por lo que $x=\frac{hd}{2h+d}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The condition and the Pythagorean theorem give $x+\sqrt{d^2+(h+x)^2}=h+d.$ After isolating the radical and squaring, $d^2+(h+x)^2=(h+d-x)^2.$ Cancelling common terms leaves $4hx+2dx=2hd,$ so $x=\frac{hd}{2h+d}.$

Thus, the correct answer is A.

1954 AMC 12 Problema 35

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 35 en otros años